Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 73

\[\boxed{\mathbf{73.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[DABC - тетраэдр;\]

\[M \in AB;\ \ N \in BC;\ \ P \in CD;\ \ \]

\[K \in AD;\]

\[MA = MB;\ \ NB = NC;\ \ \]

\[PC = PD;\]

\[AC = 10\ см;\]

\[BD = 12\ см;\]

\[AK = KD.\]

\[Доказать:\]

\[K \in \left( \text{MNP} \right).\]

\[Найти:\]

\[P_{\text{MNPK}}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ MN \parallel AC:\]

\[\left( \text{MNP} \right) \cap \left( \text{ABC} \right) = MN;\ \ \]

\[MN - средняя\ линия\ ⊿ABC.\]

\[2)\ По\ признаку\ \]

\[параллельности\ прямой\ и\ \]

\[плоскости:\]

\[MN \parallel \left( \text{ACD} \right) - так\ как\ \]

\[проходит\ через\ \left( \text{MNP} \right) \parallel \left( \text{ACD} \right).\]

\[Следовательно:\]

\[линия\ пересечения\ \]

\[плоскостей\ \parallel MN.\]

\[3)\ Пусть\ эта\ линия\ \]

\[пересекается\ с\ ребром\ \text{AD\ }в\ \]

\[точке\ \text{K.}\]

\[PK \parallel MN;\ \ MN \parallel AC:\]

\[PK \parallel AC;\]

\[P - середина\ \text{AD.}\]

\[Отсюда:\]

\[PK - средняя\ линия\ ⊿ACD;\]

\[K - середина\ \text{AD.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[4)\ MN = KP = \frac{1}{2}AC = 5\ см.\]

\[NP = MK = \frac{1}{2}BD = 6\ см.\]

\[P_{\text{MNPK}} = 2 \cdot (5 + 6) = 22\ см.\]

\[Ответ:22\ см.\]