Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 626

\[\boxed{\mathbf{626.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[прямые\ \text{a\ }и\ b -\]

\[скрещивающиеся;\text{\ \ }\]

\[точки\ A_{1},A_{1},A_{3} \in a;\]

\[точки\ B_{1}B_{2}B_{3} \in b;\ \ \]

\[\overrightarrow{A_{1}A_{2}} = k \bullet \overrightarrow{A_{1}A_{3}};\ \ \]

\[\overrightarrow{B_{1}B_{2}} = k \bullet \overrightarrow{B_{1}B_{3}}.\]

\[Доказать:\ \ \]

\[прямые\ A_{1}B_{1},\ A_{2}B_{2},\ A_{3}B_{3}\ \]

\[параллельны\ некоторой\ \]

\[плоскости.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ \overrightarrow{A_{2}B_{2}} = \overrightarrow{A_{2}A_{1}} + \overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{1}B_{2}} =\]

\[= \overrightarrow{A_{1}B_{1}} - k\left( \overrightarrow{A_{1}A_{3}} - \overrightarrow{B_{1}B_{3}} \right);\]

\[\overrightarrow{A_{3}B_{3}} = \overrightarrow{A_{3}A_{1}} + \overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{1}B_{3}} =\]

\[= \overrightarrow{A_{1}B_{1}} - \left( \overrightarrow{A_{1}A_{3}} - \overrightarrow{B_{1}B_{3}} \right).\]

\[2)\ \overrightarrow{A_{2}B_{2}} + \overrightarrow{A_{3}B_{3}} =\]

\[\overrightarrow{x} =\]

\[= \left( \frac{1}{(k - 1)\left( \overrightarrow{A_{1}A_{3}} + \overrightarrow{B_{1}B_{3}} \right)} \right)\overrightarrow{A_{1}B_{1}} =\]

\[= - \frac{1}{2}\overrightarrow{A_{2}B_{2}} - \frac{1}{2}\ \overrightarrow{A_{3}B_{3}}.\]

\[3)\ Векторы\ \overrightarrow{x},\ \overrightarrow{A_{2}B_{2}}\ и\ \overrightarrow{A_{3}B_{3}} -\]

\[компланарны\ (по\ признаку);\ \]

\[векторы\ \overrightarrow{A_{1}B_{1}}\ \ и\ \overrightarrow{x} - тоже\ \]

\[коллинеарны.\]

\[Значит,\ векторы\ \overrightarrow{A_{1}B_{1}},\ \overrightarrow{A_{2}B_{2}}\ и\ \]

\[\overrightarrow{A_{3}B_{3}} - компланарны\]

\[а\ прямые,\ на\ которых\ они\ \]

\[лежат,\ параллельны\ \]

\[некоторой\ плоскости\ (так\ как\ \]

\[параллельным\ переносом\ их\ \]

\[можно\ переместить\ в\ одну\ \]

\[плоскость).\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]