Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 589

\[\boxed{\mathbf{589.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[\mathbf{Дано}\mathbf{:}\]

\[векторы\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ \]

\[коллинеарны.\]

\[Доказать:\]

\[коллинеарны\ векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Векторы\ \ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ \]

\[коллинеарны:\ \]

\[существует\ такое\ число\ k,\ что\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right).\]

\[2)\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{b}:\]

\[\ \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a};\]

\[(1 + k)\overrightarrow{b} = (k - 1)\overrightarrow{a}\ \]

\[\overrightarrow{a} = \left( \frac{k + 1}{k - 1} \right)\overrightarrow{b}.\]

\[Следовательно,\ векторы\ \overrightarrow{a}\ \ и\ \ \overrightarrow{b}\ \]

\[коллинеарны.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]