Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 588

\[\boxed{\mathbf{588.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[\mathbf{Дано}\mathbf{:}\]

\[векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{c};векторы\ \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{c} - коллинеарны.\]

\[Доказать:\]

\[коллинеарны\ векторы\]

\[\textbf{а)}\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c};\]

\[\textbf{б)}\ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c};\]

\[\textbf{в)}\ \overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c};\]

\[\textbf{г)} - \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c}.\]

\[Доказательство:\]

\[Векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{c},а\ также\ \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c}\ \]

\[коллинеарны:\ \ \]

\[существуют\ такие\ числа\ \text{k\ }и\ n,\ \]

\[что\ \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{c}\text{\ \ }и\ \ \overrightarrow{b} = n\overrightarrow{c}.\]

\[\textbf{а)}\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{c} + n\overrightarrow{c} = (k + n)\overrightarrow{c}.\]

\[\textbf{б)}\ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{c} - n\overrightarrow{c} = (k - n)\overrightarrow{c}.\]

\[\textbf{в)}\ \overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{c} + 3n\overrightarrow{c} =\]

\[= (k + 3n)\overrightarrow{c}.\]

\[\textbf{г)} - \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = - k\overrightarrow{c} + 2n\overrightarrow{c} =\]

\[= (2n - k)\overrightarrow{c}.\]

\[Таким\ образом,\ во\ всех\ случаях\ \]

\[данные\ векторы\ коллинеарны\ \]

\[вектору\ \overrightarrow{c}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]