Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 580

\[\boxed{\mathbf{580.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\overrightarrow{\text{AO}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}.\]

\[Доказать:\]

\[\text{A\ }и\ \text{B\ }симметричны\ \]

\[относительно\ точки\ \text{O.}\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ точка\ O - любая\ \]

\[точка\ в\ пространстве:\]

\[\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AO}} + \overrightarrow{\text{OB}}.\]

\[\ \overrightarrow{\text{AO}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} - по\ условию:\]

\[\overrightarrow{\text{AB}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{OB}}\]

\[\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{AB}} - \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AO}}.\]

\[2)\ \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{AO}}:\]

\[векторы\ лежат\ на\ одной\ \]

\[прямой\ \]

\[(не\ могут\ быть\ параллельными);\]

\[O \in AB.\]

\[3)\ O \in AB\ и\ AO = OB:\ \]

\[точки\ \text{A\ }и\ \text{B\ }симметричны\ \]

\[относительно\ точки\ \text{O.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]