Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 579

\[\boxed{\mathbf{579.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}P - правильная\ \]

\[шестиугольная\ пирамида.\]

\[Доказать:\]

\[сумма\ всех\ векторов\ с\ началом\ \]

\[в\ точке\ P,\ образованных\]

\[боковыми\ ребрами\ пирамиды,\]

\[равна\ сумме\ всех\ векторов\ с\ \]

\[началом\ в\ точке\ P,\ \]

\[образованных\ апофемами.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Построим\ апофемы\ \]

\[пирамиды\ PH_{1},PH_{2},PH_{3},PH_{4},\]

\[PH_{5},PH_{6},\ опущенные\]

\[соответственно\ на\ грани\ \]

\[A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},\ldots,A_{6}A_{1}.\]

\[2)\ PA_{1} = PH_{1} + H_{1}A_{1};\ \ \]

\[PA_{2} = PH_{1} + H_{1}A_{2};\]

\[A_{1}H_{1} = H_{1}A_{1} - боковые\ грани\ \]

\[пирамиды\ равные\ \]

\[равнобедренные\ \]

\[трегоульники;\]

\[H_{1}A_{1} = - H_{1}A_{2}.\]

\[Отсюда:\ \ \]

\[PA_{1} + PA_{2} =\]

\[= PH_{1} + H_{1}A_{1} + PH_{1} + H_{1}A_{2} =\]

\[= 2PH_{1}.\]

\[3)\ Для\ грани\ PA_{1}A_{2}\ получаем:\]

\[сумма\ векторов,\ образованных\ \]

\[ребрами\ равна\ двум\ векторам,\ \]

\[образованным\ апофемой.\]

\[Аналогично - для\ всех\ граней\ \]

\[и\ апофем\ (так\ как\ все\ грани\]

\[\ правильной\ пирамиды\ равны,\]

\[а\ значит\ равны\ и\ их\ высоты,\ \]

\[проведенные\ к\ основанию).\]

\[4)\ Получаем:\ \ \]

\[2\sum_{i = 1}^{6}{PA_{i}} = 2\sum_{i = 1}^{6}{PH_{i}}\]

\[\sum_{i = 1}^{6}{PA_{i}} = \sum_{i = 1}^{6}{PH_{i}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]