Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 547

\[\boxed{\mathbf{547.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[MABC - правильная\ пирамида;\]

\[\angle MTA = \alpha;\]

\[O - центр\ вписанного\ шара;\]

\[V - объем\ шара.\]

\[Найти:\]

\[V_{пирамиды}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ OH = OP = OK = R_{сферы};\]

\[MH - высота\ пирамиды.\]

\[2)\ Построим\ AT\bot CB;\ \ \ H \in AT:\]

\[3)\ V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \bullet R_{шара}^{3} = V\]

\[R_{шара} = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}.\]

\[4)\ \angle MTA - линейный\ угол\ \]

\[двугранного\ угла\ при\ \]

\[основании\ пирамиды:\ \ \]

\[\angle MTA = \alpha.\]

\[5)\ В\ \mathrm{\Delta}HTM:\ \ \]

\[TO - биссектриса\ \angle HTM =\]

\[= \angle MTA = \alpha;\]

\[\angle ATO = \frac{\alpha}{2};\]

\[HT = r - радиус\ вписанной\ в\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{ABC}\ окружности;\]

\[HT = \frac{\text{BC}}{2\sqrt{3}}.\]

\[6)\ \mathrm{\Delta}HTO - прямоугольный\ \]

\[(HT\bot HO):\]

\[\frac{\text{HT}}{\text{HO}} = ctg\frac{\alpha}{2} \rightarrow HT = \frac{R}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}};\]

\[\frac{\text{BC}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}} \rightarrow BC = \frac{2\sqrt{3}R}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}}.\]

\[7)\ \mathrm{\Delta}MHP - прямоугольный:\ \ \]

\[MH = HP \bullet tg\ \alpha = \frac{R \bullet tg\ \alpha}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}}.\]

\[8)\ V_{пир} = \frac{1}{3} \bullet S_{\text{ABC}} \bullet MH =\]

\[= \frac{1}{3} \bullet \frac{BC^{2}\sqrt{3}}{4} \bullet \frac{R \bullet tg\ \alpha}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}} =\]

\[= \frac{\sqrt{3}}{12} \bullet \left( \frac{2\sqrt{3} \bullet R}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}} \right)^{2} \bullet \frac{R \bullet tg\ \alpha}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}} =\]

\[= \frac{12\sqrt{3}}{12} \bullet ctg^{3}\frac{\alpha}{2} \bullet tg\ \alpha =\]

\[= \sqrt{3} \bullet \frac{3V}{4\pi} \bullet tg\alpha \bullet ctg^{3}\frac{\alpha}{2} =\]

\[= \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \bullet tg\ \alpha \bullet ctg^{3}\frac{\alpha}{2} \bullet V.\]

\[\mathbf{Отв}ет:\ \ \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \bullet tg\ \alpha \bullet ctg^{3}\frac{\alpha}{2} \bullet V.\]