Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 546

\[\boxed{\mathbf{546.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[усеченный\ конус;\]

\[r - верхнее\ основание;\]

\[r_{1} - нижнее\ основание;\]

\[O - центр\ вписанной\ сферы.\]

\[Найти:\]

\[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ HH_{1} - высота\ усеченного\ \]

\[конуса;\ \]

\[BCDA - осевое\ сечение\ конуса;\]

\[OH = OH_{1} = R_{сферы};\ \]

\[\text{\ B}H_{1} = H_{1}C = r_{1};\ \ AH = HD = r;\]

\[HH_{1} = d_{сферы} = 2R_{шара}.\]

\[2)\ V_{конуса} =\]

\[= \frac{1}{3}\pi \bullet HH_{1} \bullet \left( r^{2} + r_{1}^{2} + rr_{1} \right) =\]

\[= \frac{\pi}{3} \bullet 2R \bullet \left( r^{2} + r_{1}^{2} + rr_{1} \right).\]

\[3)\ Четырехугольник\ ABCD:\]

\[AD + BC = AB + CD\ (по\ \]

\[свойству\ описанного\ около\ \]

\[окружности\ \]

\[четырехугольника);\]

\[AB = CD.\]

\[Отсюда:\]

\[2AB = AD + BC = 2r + 2r_{1}\]

\[AB = r + r_{1}.\]

\[4)\ Построим\ BT\bot AD:\ \ \ \]

\[BT \parallel HH_{1};\]

\[BT = HH_{1} = 2R_{шара}.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}ABT - прямоугольный:\]

\[4R_{шара}^{2} = AB^{2} - AT^{2}\]

\[2R_{шара} =\]

\[= \sqrt{\left( r + r_{1} \right)^{2} - \left( r_{1} - r \right)^{2}} =\]

\[= 2\sqrt{rr_{1}}\]

\[R_{шара} = \sqrt{rr_{1}}.\]

\[6)\ Отношение\ объемов\ фигур:\]

\[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} =\]

\[= \frac{\frac{\pi}{3} \bullet 2R \bullet \left( r^{2} + r_{1}^{2} + rr_{1} \right)}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} =\]

\[= \frac{r^{2} + r_{1}^{2} + rr_{1}}{2R^{2}} = \frac{r^{2} + r_{1}^{2} + rr_{1}}{2rr_{1}}.\]

\[\mathbf{Отв}ет:\ \ \frac{r^{2} + r_{1}^{2} + rr_{1}}{2rr_{1}}.\]