Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 542

\[\boxed{\mathbf{542.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[конус;\]

\[MABCD - пирамида;\]

\[MH - высота;\]

\[ABCD - ромб;\]

\[AB = a;\]

\[\angle BAD = \varphi;\]

\[\angle MPH = \theta.\]

\[Найти:\]

\[\text{V.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Построим\ HP\bot AB\ \ и\ \ \]

\[HT\bot BC:\]

\[MP\bot AB;\ \ MT\bot BC\ \]

\[(по\ теореме\ о\ трех\ углах);\]

\[HP = HT = r - радиус\ \]

\[основания\ вписанного\ конуса;\]

\[MP = MT = l - образующая\ \]

\[конуса.\]

\[2)\ Площадь\ основания\ \]

\[пирамиды:\]

\[S_{осн} = S_{\text{ABCD}} = 4 \bullet S_{\text{AHB}};\]

\[S_{\text{ABCD}} = 2 \bullet \left( \frac{1}{2}a \bullet a \bullet \sin\varphi \right) =\]

\[= a^{2}\sin\varphi;\]

\[S_{\text{AHB}} = \frac{1}{2} \bullet AB \bullet HP = \frac{1}{2}a \bullet HP.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{4}{2}a \bullet HP = a^{2} \bullet \sin\varphi\]

\[HP = \frac{1}{2}a \bullet \sin\varphi.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}MHP - прямоугольный:\]

\[\frac{\text{MH}}{\text{HP}} = tg\ \theta\]

\[MH = HP \bullet tg\ \theta = \frac{a \bullet \sin\varphi \bullet tg\ \theta}{2}.\]

\[4)\ V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3}\pi \bullet HP^{2} \bullet MH;\]

\[V =\]

\[= \frac{1}{3}\pi \bullet \frac{a^{2} \bullet \sin^{2}\varphi}{4} \bullet \frac{a \bullet \sin\varphi \bullet tg\ \theta}{2} =\]

\[= \frac{a^{3}\pi}{24} \bullet \sin^{3}\varphi \bullet tg\ \theta.\]

\[\mathbf{Отв}ет:\ \ V = \frac{a^{3}\pi}{24} \bullet \sin^{3}\varphi \bullet tg\ \theta.\]