Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 54

\[\boxed{\mathbf{54.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[⊿ADC;\]

\[B \notin ADC;\]

\[M;N;P - середины\ BA;BC;BD;\]

\[S_{\text{ADC}} = 48\ см^{2}.\]

\[Доказать:\]

\[\textbf{а)}\ MPN \parallel ADC.\]

\[Найти:\]

\[\textbf{б)}\ S_{\text{MNP}}.\]

\[Решение.\]

\[\textbf{а)}\ В\ треугольнике\ ABD:\]

\[MP - средняя\ линия;\ \ \]

\[MP \parallel AD.\]

\[В\ треугольнике\ BCD:\]

\[PN - средняя\ линия;\]

\[PN \parallel DC.\]

\[Отсюда:\]

\[MP \cap PN = P;\]

\[AD \cap DC = D.\]

\[По\ признаку\ параллельности\ \]

\[двух\ плоскостей:\]

\[\left( \text{MNP} \right) \parallel \left( \text{ADC} \right).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ \mathrm{\Delta}MPN\sim\mathrm{\Delta}ADC - по\ двум\ \]

\[углам:\]

\[\angle NMP = \angle CAD - углы\ с\ \]

\[сонаправленными\ сторонами;\]

\[\angle MNP = \angle ACD - углы\ с\ \]

\[сонаправленными\ сторонами.\]

\[По\ свойству\ средней\ линии\ \]

\[треугольника:\]

\[\frac{\text{MN}}{\text{AC}} = \frac{1}{2}.\]

\[По\ теореме\ об\ отношениях\ \]

\[площадей\ подобных\ \]

\[треугольников:\]

\[\frac{S_{\text{MPN}}}{S_{\text{ADC}}} = \left( \frac{\text{MN}}{\text{AC}} \right)^{2}\]

\[\frac{S_{\text{MPN}}}{48} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2}\]

\[4S_{\text{MNP}} = 48\]

\[S_{\text{MNP}} = 48\ :4 = 12\ \left( см^{2} \right).\]

\[Ответ:12\ см^{2}.\]