Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 378

\[\boxed{\mathbf{378.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[сфера;\]

\[R = 5\ см;\]

\[PQ = PR = 10\ см;\]

\[QR = 12\ см.\]

\[Найти:\]

\[OO_{1}.\]

\[Решение.\]

\[Равнобедренный\ \Delta PQR\ \]

\[«положили»\ на\ сферу,\ он\ \]

\[касается\ сферы\ в\ точках\ A;B;C.\]

\[Проведем\ из\ центра\ сферы\ O\ \]

\[перпендикуляр\ OO_{1}\ на\ \]

\[плоскость\ PQR.\]

\[По\ теореме\ о\ трех\ \]

\[перпендикулярах:\]

\[O_{1}A\bot PR;\ \ O_{1}B\bot PQ;\ \ \]

\[O_{1}C\bot RQ.\]

\[⊿OO_{1}A = ⊿OO_{1}B = ⊿OO_{1}\text{C\ }\]

\[(прямоугольные):\]

\[OO_{1} - общий\ катет;\]

\[OA = OB = OC = R.\]

\[Следовательно:\]

\[точка\ O_{1} - центр\ вписанной\ \]

\[окружности.\]

\[Найдем\ радиус\ вписанной\ \]

\[окружности:\]

\[r = \frac{S_{\text{PQR}}}{p};\ \ \ \]

\[p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\ см.\]

\[По\ формуле\ Герона:\]

\[S_{\text{PQR}} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} =\]

\[= 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48\ см^{2}.\]

\[r = \frac{48}{16} = 3\ см.\]

\[По\ теореме\ Пифагора\ \]

\[\left( ⊿OO_{1}B \right):\]

\[OO_{1} = \sqrt{OB^{2} - O_{1}B^{2}} =\]

\[= \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} =\]

\[= \sqrt{16} = 4\ см.\]

\[Ответ:4\ см.\]