Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 318

\[\boxed{\mathbf{318.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \]

\[Доказательство.\]

\[AB - это\ удвоенная\ высота\ \]

\[правильной\ пирамиды:\]

\[AB = a\sqrt{2}.\]

\[BC;AC - апофемы:\]

\[AB = h_{грани} = \frac{\sqrt{3}a}{2}.\]

\[C_{1}B_{1} - апофема:\]

\[A_{1}B_{1} = h_{грани}.\]

\[A_{1}C_{1} - третья\ высота\ \]

\[основания:\]

\[A_{1}C_{1} = \frac{h_{гр}}{3}.\]

\[По\ теореме\ косинусов\ \]

\[(в\ ⊿ABC):\]

\[AB^{2} =\]

\[= BC^{2} + AC^{2} - 2BC \cdot AC \cdot \cos{\angle ACB};\]

\[\cos{\angle ACB} = \frac{BC^{2} + AC^{2} + AB^{2}}{2 \cdot BC \cdot AC} =\]

\[= \frac{\frac{3a^{2}}{4} + \frac{3a^{2}}{4} - 2a^{2}}{2 \cdot \frac{3a^{2}}{4}} = - \frac{1}{2}\ :\frac{3}{2} =\]

\[= - \frac{1}{3}.\]

\[\cos{\angle A_{1}C_{1}B_{1}} = \frac{h_{гр}}{3h_{гр}} = \frac{1}{3}.\]

\[Если\ косинусы\ двух\ углов\ \]

\[противоположны,\ то\ они\ \]

\[дополняют\ друг\ друга\ до\ 180{^\circ}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]