Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 293

\[\boxed{\mathbf{293.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[B_{1}D\bot D_{1}\text{B.}\]

\[Доказать.\]

\[\angle\left( A_{1}C;B_{1}D \right) = 60{^\circ}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ BB_{1}D_{1}D - прямоугольник,\ в\ \]

\[котором\ диагонали\ \bot:\]

\[BB_{1}D_{1}D - квадрат.\]

\[2)\ Пусть\ AB = a:\]

\[BD = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2};\]

\[BB_{1} = AA_{1} = CC_{1} = DD_{1} = \sqrt{2}.\]

\[3)\ A_{1}B_{1}CD - прямоугольник:\]

\[A_{1}B_{1} = a;\]

\[A_{1}D = \sqrt{a^{2} + 2a^{2}} = a\sqrt{3}.\]

\[Отсюда:\]

\[A_{1}C = B_{1}D = \sqrt{a^{2} + 3a^{2}} = 2a.\]

\[3)\ Диагонали\ точкой\ \]

\[пересечения\ делятся\ пополам:\]

\[A_{1}O = B_{1}O = a;\]

\[O - точка\ пересечения\ \]

\[диагоналей\ прямоугольника\ \]

\[A_{1}B_{1}\text{CD.}\]

\[4)\ ⊿A_{1}OB_{1} - равносторонний\ \]

\[(все\ стороны\ равны\ a):\]

\[\angle A_{1}OB_{1} = 60{^\circ}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]