Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 283

\[\boxed{\mathbf{283.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ребро = \text{a.}\]

\[Решение.\]

\[DO - высота\ тетраэдра;\]

\[O - центр\ ⊿ABC.\]

\[\textbf{а)}\ MK \parallel DB;\ \ MN \parallel BC:\]

\[⊿MKN - данное\ сечение.\]

\[AL = \frac{a\sqrt{3}}{2};\ \ AO = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}.\]

\[⊿ADB - равносторонний;\]

\[KM \parallel DB.\]

\[AM = \frac{\text{AO}}{\sin{60{^\circ}}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{2a}{3};\]

\[AM = KM = \frac{2a}{3}.\]

\[В\ треугольнике\ MKN:\]

\[\angle MKN = 60{^\circ} - углы\ с\ \]

\[соответственно\ \]

\[параллельными\ и\ одинаково\]

\[направленными\ сторонами\ \]

\[равны.\]

\[S_{\text{MNK}} = \frac{1}{2}MK \cdot KN \cdot \sin{60{^\circ}} =\]

\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}.\]

\[\textbf{б)}\ OK\bot AD;\ \ ADO\bot NM:\]

\[AD\bot MN.\]

\[AD\bot MN;\ \ AD\bot OK:\]

\[AD\bot MNK.\]

\[Значит:\]

\[⊿MKN - сечение;\]

\[S_{\text{MKN}} = \frac{1}{2}OK \cdot MN.\]

\[⊿AMN - равносторонний;\]

\[MN = AM = \frac{2a}{3};\]

\[AO = \frac{a\sqrt{3}}{3};\]

\[OK = AO \cdot \sin{\angle DAO} =\]

\[= \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \sin{\angle DAO}.\]

\[По\ теореме\ косинусов\ \]

\[(из\ ⊿ADL):\]

\[DL^{2} =\]

\[= AD^{2} + AL^{2} - 2AD \cdot AL \cdot \cos{\angle DAO}\]

\[\frac{3a^{2}}{4} =\]

\[= \frac{4a^{2} + 3a^{2}}{4} - a^{2}\sqrt{3} \cdot \cos{\angle DAO}\]

\[\frac{7a^{2} - 3a^{2}}{4} = a^{2}\sqrt{3}\cos{\angle DAO}\]

\[1 = \sqrt{3}\cos{\angle DAO}\]

\[\cos{\angle DAO} = \frac{1}{\sqrt{3}}.\]

\[\sin{\angle DAO} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}};\]

\[OK = AO \cdot \sin{\angle DAO} =\]

\[= \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}.\]

\[S_{\text{MKN}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{9}.\]

\[Ответ:\ а)\ \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9};б)\ \frac{a^{2}\sqrt{2}}{9}.\]