Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 102

\[\boxed{\mathbf{102.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[DABC - тетраэдр;\]

\[M,N - середины\ \text{AB\ }и\ BC;\]

\[\alpha \in MND;\]

\[AB = BC = AC = DA = DB =\]

\[= DC = 20\ см.\]

\[Доказать:\]

\[\alpha \parallel AC;\]

\[Найти:\]

\[P_{\text{MDN}};\]

\[S_{\text{MDN}}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ MN - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[MN \parallel AC,\ MN \in \alpha,\ AC \notin \text{α.}\]

\[Отсюда:\]

\[\ AC \parallel \alpha\ (по\ теореме\ п.6).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ AC = BC = AB = DA = DB =\]

\[= DC = 20\ см:\]

\[все\ грани - \ правильные\ \]

\[треугольники;\ \]

\[DN = DM - медианы\ и\ высоты\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{ADB\ }и\ \mathrm{\Delta}BDC.\]

\[3)\ DN^{2} = DC^{2} - NC^{2} =\]

\[= DC^{2} - \left( \frac{1}{2}\text{DC} \right)^{2} =\]

\[= DC^{2} - \frac{1}{2}DC^{2} = \frac{1}{2}DC^{2};\]

\[DN = KD = \frac{\text{DC}\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}.\]

\[4)\ MN = \frac{1}{2}\text{BC\ }\]

\[(как\ средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}ABC):\]

\[MN = 20\ :2 = 10\ см.\]

\[5)\ P_{\text{MDN}} = 2DN + MN =\]

\[= 20\sqrt{3} + 10 = 10\left( 2\sqrt{3} + 1 \right)\ см.\]

\[6)\ S_{\text{MDN}} = \frac{1}{2}DH \bullet MN.\]

\[\mathrm{\Delta}MDN - равнобедренный:\ \]

\[DH - высота,\ медиана\ и\ \]

\[биссектрисса;\ \]

\[DH\bot MN.\]

\[NH = \frac{1}{2}\text{MN}\]

\[DH^{2} = DN^{2} - NH^{2} =\]

\[= \left( 10\sqrt{3} \right)^{2} - 5^{2} = 300 - 25 =\]

\[= 275\]

\[DH = 5\sqrt{11}.\]

\[S_{\text{MDN}} = \frac{1}{2} \bullet 10 \bullet 5\sqrt{11} =\]

\[= 25\sqrt{11}\ см^{2}.\]

\[Ответ:10 \cdot \left( 2\sqrt{3} + 1 \right)\ см;\]

\[25\sqrt{11}\ см^{2}.\]