Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС Задачи с практическим содержанием.

\[\boxed{Задачи\ \ с\ практическим\ содержанием\mathbf{\text{.\ }}\mathbf{ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ }5\mathbf{\ }}\]

1

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[Пятиконечная\ звезда - это\ \]

\[граф,\ в\ котором\ 5\ вершин\ \]

\[второй\ степени\ и\ 5\ вершин\ \]

\[четвертой\ степени.\ Все\ степени\ \]

\[четные.Следовательно,\ граф\ \]

\[можно\ нарисовать\ одним\ \]

\[росчерком,\ не\ отрывая\ \]

\[карандаша\ от\ бумаги,\ начиная\ \]

\[с\ любого\ места.Значит,\ можно\ \]

\[изготовить\ звезду\ из\ \]

\[прямолинейной\ рейки,\ начиная\]

\[ее\ изгибать\ с\ любого\ места.\]

2

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[Нужно\ доказать,\ что\ N,\ M\ и\ H,\ L\ \]

\[лежат\ в\ одной\ плоскости.\ \]

\[Пусть\ точки\ N\ и\ M\ \]

\[принадлежат\ задней\ грани,\ \]

\[H\ и\ L\ —\ нижней\ грани,\ то\ есть\ \]

\[точка\ пересечения\ NM\ и\ HL\ \]

\[должна\ лежать\ на\ прямой,\ \]

\[принадлежащей\ обеим\ граням,\ \]

\[то\ есть\ AC.\ \]

\[Продлим\ прямые\ NM\ и\ HL\ и\ \]

\[найдем\ точку\ их\ пересечения.\ \]

\[Эта\ точка\ не\ будет\ \]

\[принадлежать\ прямой\ AC.\ \]

\[Значит,\ точки\ N,\ M,\ L,\ H\ не\ \]

\[образуют\ плоский\ \]

\[многоугольник.\ \]

\[Ответ:невозможно.\]

3

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[\mathbf{Диагональ\ кирпича - это\ }\]

\[\mathbf{отмеченный\ отрезок.}\]

4

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[Площадь\ платка\ больше,\ чем\ \]

\[площадь\ всех\ сторон\ куба.\]

\[Значит,\ мы\ точно\ можем\ \]

\[завернуть\ куб\ с\ ребром\ 10\ см\ в\ \]

\[квадратный\ платок\ со\ \]

\[стороной\ 30\ см,\ но\ для\ этого\ \]

\[необходимо\ разместить\ куб\ \]

\[в\ центре\ платка\ и\ развернуть\ \]

\[его\ так,\ чтобы\ диагонали\ \]

\[платка\ проходили\ через\ \]

\[середины\ сторон\ куба.\]

5

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[\mathbf{Введём\ наряду\ с\ координатами\ }\]

\[\mathbf{в\ плоскости,\ в\ которой\ }\]

\[\mathbf{движутся\ пешеходы,\ ещё\ и\ }\]

\[\mathbf{третью\ ось\ координат\ –\ ось\ }\]

\[\mathbf{времени.\ }\]

\[\mathbf{Рассмотрим\ графики\ движения\ }\]

\[\mathbf{пешеходов.\ }\]

\[\mathbf{Ясно,\ что\ пешеходы\ }\]

\[\mathbf{встречаются,\ когда\ их\ графики\ }\]

\[\mathbf{движения\ пересекаются.\ }\]

\[\mathbf{Из\ условия\ следует,\ что\ }\]

\[\mathbf{графики\ третьего\ и\ четвёртого\ }\]

\[\mathbf{пешеходов\ лежат\ в\ плоскости,\ }\]

\[\mathbf{заданной\ графиками\ двух\ }\]

\[\mathbf{первых\ пешеходов.\ }\]

\[\mathbf{Поэтому\ графики\ третьего\ и\ }\]

\[\mathbf{четвёртого\ пешеходов\ }\]

\[\mathbf{пересекаются.}\]

6

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[При\ плавлении\ объем\ \]

\[конечной\ детали\ равен\ сумме\ \]

\[объемов\ частей:\]

\[V = V_{1} + V_{2} + V_{3} =\]

\[= 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} =\]

\[= 27 + 64 + 125 = 216\ см^{3}.\]

\[Найдем\ ребро\ получившегося\ \]

\[куба:\]

\[d^{3} = 216\]

\[d = 6\ см.\]

\[Ответ:6\ см.\]

7

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[1)\ V = abc - объем\ кирпича.\]

\[2)\ Плотность:\]

\[\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\text{abc}} = \frac{3510}{25 \cdot 12 \cdot 6,5} =\]

\[= \frac{3510}{30 \cdot 65} = \frac{117}{65} = \frac{9}{5} =\]

\[= 1,8\ \left( \frac{г}{см^{3}} \right).\]

\[Ответ:1,8\ \frac{г}{см^{3}}.\]

8

\[\boxed{\mathbf{8.}}\]

\[a = 12\ м;b = 6\ м;h = 2\ м;\]

\[l = 10\ м.\]

\[Участок\ является\ прямой\ \]

\[призмой\ с\ трапецией\ в\ \]

\[основании;\ \]

\[ее\ ребро\ перпендикулярно\ \]

\[основанию\ и\ равно\ \text{l.}\]

\[V = S_{осн} \cdot l = \frac{a + b}{2} \cdot hl =\]

\[= \frac{12 + 6}{2} \cdot 2 \cdot 10 = 180\ м^{3}.\]

\[Ответ:180\ м^{3}.\]

9

\[\boxed{\mathbf{9.}}\]

\[a = 20\ м;\ \ \ \ b = 16\ м;h = 2\ м;\]

\[v = 2\ \frac{м}{с};\ t = 1\ мин = 60\ с.\]

\[Столб\ жидкости\ является\ \]

\[прямой\ призмой\ с\ трапецией\ в\ \]

\[основании;\]

\[ее\ ребро\ \bot основанию\ и\ равно\ \]

\[l = vt.\]

\[V = S_{осн} \cdot l = \frac{a + b}{2} \cdot h \cdot vt =\]

\[= \frac{20 + 16}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 60 = 4320\ м^{3}.\]

\[Ответ:4320\ м^{3}.\]

10

\[\boxed{\mathbf{10.}}\]

\[\mathbf{Чем\ меньше\ площадь\ сечения\ }\]

\[\mathbf{реки,\ тем\ больше\ скорость\ }\]

\[\mathbf{течения\ реки\ через\ это\ сечение,\ }\]

\[\mathbf{поэтому\ при\ одинаковой\ }\]

\[\mathbf{глубине\ у\ узких\ местах\ русла\ }\]

\[\mathbf{реки\ её\ течение\ быстрее,\ чем\ в\ }\]

\[\mathbf{широких.\ }\]

\[\mathbf{Если\ ширина\ одинаковая,\ а\ }\]

\[\mathbf{глубина\ разная,\ то\ скорость\ }\]

\[\mathbf{течения\ реки\ будет\ быстрее\ }\]

\[\mathbf{там,\ где\ глубина\ меньше.}\]

11

\[\boxed{\mathbf{11.}}\]

\[\mathbf{Для\ отверстий\ в\ виде\ круга\ и\ }\]

\[\mathbf{квадрата\ универсальной\ }\]

\[\mathbf{является\ пробка\ в\ виде\ }\]

\[\mathbf{цилиндра.}\]

\[\mathbf{Усечём\ этот\ цилиндр\ }\]

\[\mathbf{плоскостями,\ проходящими\ }\]

\[\mathbf{через\ диаметр\ верхнего\ }\]

\[\mathbf{основания\ цилиндра\ и\ }\]

\[\mathbf{касающимися\ нижнего\ }\]

\[\mathbf{основания.\ }\]

\[\mathbf{Полученное\ тело\ сохранило\ }\]

\[\mathbf{свойство\ быть\ универсальной\ }\]

\[\mathbf{пробкой\ для\ круга\ и\ квадрата,}\]

\[\mathbf{но\ теперь\ в\ одной\ из\ проекций\ }\]

\[\mathbf{имеет\ вид\ треугольника\ и\ }\]

\[\mathbf{может\ служить\ «пробкой»\ для\ }\]

\[\mathbf{всех\ трёх\ отверстий.}\]

12

\[\boxed{\mathbf{12.}}\]

\[Объем\ воды\ в\ первом\ \]

\[цилиндре:\]

\[V = \pi r_{1}^{2}h_{1} = \frac{\pi}{4}d_{1}^{2}h_{1}.\]

\[Объем\ воды\ во\ втором\ \]

\[цилиндре:\]

\[V = \frac{\pi}{4}d_{2}^{2}h_{2}.\]

\[Получаем\ равенство\ \]

\[(так\ как\ объем\ равный):\]

\[\frac{\pi}{4}d_{1}^{2}h_{1} = \frac{\pi}{4}d_{2}^{2}h_{2}\]

\[\frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}} = \frac{15^{2}}{5^{2}}\]

\[\frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{225}{25} = 9\ (раз).\]

\[Ответ:в\ 9\ раз.\]

13

\[\boxed{\mathbf{13.}}\]

\[\mathbf{Объем\ проволоки:}\]

\[V = \pi r^{2}L = \frac{\pi}{4}d^{2}L;\ \ \ V = \frac{m}{\rho}.\]

\[Получаем\ равенство:\]

\[\frac{\pi}{4}d^{2}L = \frac{m}{\rho}\]

\[d = \sqrt{\frac{4m}{\text{πρL}}} = 2\sqrt{\frac{m}{\text{πρL}}} =\]

\[= 2 \cdot \sqrt{\frac{700}{\pi \cdot 8,9 \cdot 10\ 000}} \approx\]

\[\approx 2 \cdot 0,05 \approx 0,1\ см = 1\ мм.\]

\[Ответ:1\ мм.\]

14

\[\boxed{\mathbf{14.}}\]

\[Столб\ воды\ за\ 1\ час:\]

\[V = \frac{\pi}{4}d^{2}l = \frac{\pi}{4}d^{2}vt;\ \ V = qt.\]

\[Пропускная\ способность:\]

\[q = \frac{\pi}{4}d^{2}v;\ \ \ \]

\[d = 10\ см = 0,1\ м;\ \ \ v = 2\ \frac{м}{с} =\]

\[= 7200\ \frac{м}{ч}.\]

\[Подставим:\]

\[q = \frac{\pi}{4} \cdot 0,1^{2} \cdot 7200 \approx 56,5\ \left( \frac{м^{3}}{ч} \right).\]

\[Ответ:56,5\ \frac{м^{3}}{ч}.\]

15

\[\boxed{\mathbf{15.}}\]

\[\mathbf{Нужно\ наклонить\ бочку\ так,\ }\]

\[\mathbf{чтобы\ вода\ подошла\ к\ краю.}\]

\[1)\ Если\ воды\ меньше\ \]

\[половины,\ то\ будет\ видно\ дно\ \]

\[бочки.\]

\[2)\ Если\ воды\ больше\ \]

\[половины,\ дна\ бочки\ видно\ не\ \]

\[будет.\]

16

\[\boxed{\mathbf{16.}}\]

\[L = 2\pi r:\]

\[r = \frac{L}{2\pi} \approx \frac{31,4}{2 \cdot 3,14} = 5\ м.\]

\[h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{{5,4}^{2} - 5^{2}} =\]

\[= \sqrt{0,4 \cdot 10,4} = 0,4\sqrt{26} = \frac{2\sqrt{26}}{5}.\]

\[V = \frac{\pi}{3}r^{2} \cdot \sqrt{l^{2} - r^{2}} =\]

\[= \frac{\pi}{3} \cdot 25 \cdot \frac{2\sqrt{26}}{5} = \frac{10\sqrt{26}}{3}\pi \approx\]

\[\approx 53,4\ м^{3}.\]

\[\rho = \frac{m_{0}}{v_{0}} = \frac{2}{1} = 2\ \left( \frac{т}{м^{3}} \right).\]

\[M = \rho V = 2 \cdot 53,4 = 106,8\ т.\]

\[N = \frac{M}{M_{0}} = \frac{106,8}{3} = 35,6 \approx\]

\[\approx 36\ машин.\]

\[Ответ:36\ машин.\]

17

\[\boxed{\mathbf{17.}}\]

\[Объем\ стога:\]

\[V = V_{цил} + V_{кон} =\]

\[= \pi R^{2}H + \frac{1}{3}\pi R^{2}h =\]

\[= \pi R^{2}\left( H + \frac{h}{3} \right).\]

\[Масса\ стога:\]

\[M = \rho V = \rho\pi R^{2}\left( H + \frac{h}{3} \right) =\]

\[= \pi \cdot 70 \cdot 3^{2}\left( 2 + \frac{2}{3} \right) = 1680\pi \approx\]

\[\approx 5280\ кг.\]

\[Ответ:1680\pi\ или\ 5280\ кг.\]

18

\[\boxed{\mathbf{18.}}\]

\[У\ ведра\ есть\ дно\ и\ боковая\ \]

\[поверхность:\]

\[S = S_{дно} + S_{бок} =\]

\[= \pi r^{2} + \pi(r + R) \cdot l.\]

\[Общая\ поверхность\ при\ \]

\[покраске\ с\ двух\ сторон:\]

\[S_{ведро} = 2\text{S.}\]

\[Площадь\ поверхности\ всех\ \]

\[ведер:\]

\[S_{N} = N \cdot S_{ведро} =\]

\[= 2\text{Nπ}\left( r^{2} + (r + R)l \right) =\]

\[= 2 \cdot 100\pi\left( 0,1^{2} + (0,1 + 0,15) \cdot 0,3 \right) =\]

\[= 2\pi(1 + 7,5) = 17\pi\ \left( м^{2} \right).\]

\[Масса\ краски:\]

\[M = m_{0} \cdot S_{N} = 0,15 \cdot 17\pi \approx 8\ кг.\]

\[Ответ:примерно\ 8\ кг.\]

19

\[\boxed{\mathbf{19.}}\]

\[Объем\ шара\ через\ диаметр:\]

\[V = \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi\left( \frac{d}{2} \right)^{3} = \frac{\pi}{6}d^{3}.\]

\[Отношение\ объемов\ небесных\ \]

\[тел:\]

\[\frac{V_{З}}{V_{Л}} = \frac{\frac{\pi}{6}d_{З}^{3}}{\frac{\pi}{6}d_{Л}^{3}} = \left( \frac{d_{З}}{d_{Л}} \right)^{3} =\]

\[= \left( \frac{12740}{3474} \right)^{3} \approx 49,3\ раза.\]

\[Ответ:примерно\ в\ 49,3\ раза.\]

20

\[\boxed{\mathbf{20.}}\]

\[Объем\ маленьких\ шариков:\]

\[v_{0} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.\]

\[Объем\ полученного\ шара:\]

\[V = \frac{4}{3}\pi R^{3};\ \ \ V = nv_{0} = \frac{4}{3}\text{πn}r^{3}.\]

\[Получаем\ равенство:\]

\[\frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\text{πn}r^{3}\]

\[R^{3} = nr^{3}\]

\[R = r^{3}\sqrt{n} = 1 \cdot \sqrt[3]{8} = 1 \cdot 2 =\]

\[= 2\ см.\]

\[Ответ:2\ см.\]

21

\[\boxed{\mathbf{21.}}\]

\[Если\ человек\ находится\ на\ \]

\[южном\ полюсе,\ то\ он\ может\ \]

\[пройти\ 1\ км\ на\ север,\ потом -\]

\[1\ км\ на\ запад;потом - 1\ км\ на\ \]

\[юг.\]

\[Ответ:да,\ если\ начальная\ \]

\[точка - Южный\ полюс.\]

22

\[\boxed{\mathbf{22.}}\]

\[Объем\ цилиндра:\]

\[V = \pi r^{2}h\]

\[h = \frac{V}{\pi r^{2}}.\]

\[Площадь\ поверхности:\]

\[S_{пов} = 2S_{осн} + S_{бок} =\]

\[= 2\pi r^{2} + 2\pi rh =\]

\[= 2\pi r^{2} + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^{2}} = 2\pi r^{2} + \frac{2V}{r}.\]

\[Найдем\ производную\ по\ r:\]

\[\left( S_{пов} \right)_{r}^{'} = 4\pi r - \frac{2V}{r^{2}} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( 2\pi r^{3} - V \right)}{r^{2}}.\]

\[Производная\ равна\ 0\ при:\]

\[2\pi r^{3} - V = 0\]

\[r_{0} = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.\]

\[В\ точке\ r_{0} - минимум\ площади\ \]

\[поверхности.\]

\[Найдем\ высоту\ цилиндра:\]

\[h_{0} = \frac{V}{\pi r_{0}^{2}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left( \frac{2\pi}{V} \right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.\]

23

\[\boxed{\mathbf{23.}}\]

\[\mathbf{Почему\ в\ зеркале\ лево\ и\ право\ }\]

\[\mathbf{меняются,\ а\ верх\ и\ низ\ - \ нет?}\]

\[\mathbf{В\ действительности\ зеркала\ }\]

\[\mathbf{изменяют\ на\ обратную\ }\]

\[\mathbf{последовательность,\ в\ которой\ }\]

\[\mathbf{расположены\ точки\ на\ прямых,\ }\]

\[\mathbf{перпендикулярных\ }\]

\[\mathbf{поверхности\ зеркала.\ }\]

\[\mathbf{Если\ три\ шарика\ расставлены\ }\]

\[\mathbf{вдоль\ прямой,\ }\]

\[\mathbf{перпендикулярной\ }\]

\[\mathbf{поверхности\ зеркала,\ то\ их\ }\]

\[\mathbf{зеркальные\ отражения\ }\]

\[\mathbf{располагаются\ в\ обратном\ }\]

\[\mathbf{порядке.\ \ }\]

\[\mathbf{Если\ вы\ стоите\ на\ зеркальном\ }\]

\[\mathbf{полу,\ то\ ваша\ ось\ }\text{верх\ -\ низ}\]

\[\mathbf{перпендикулярна\ плоскости\ }\]

\[\mathbf{зеркала\ и\ при\ отражении\ перед\ }\]

\[\mathbf{остается\ передом,\ левая\ }\]

\[\mathbf{сторона\ - \ левой\ стороной,\ но\ }\]

\[\mathbf{голова\ оказывается\ }\]

\[\mathbf{обращенной\ вниз,\ а\ ноги\ - \ }\]

\[\mathbf{вверх.}\]

\[\mathbf{Если\ вы\ стоите\ боком\ к\ }\]

\[\mathbf{зеркалу,\ то\ ваша\ ось\ }\]

\[\text{право\ -\ лево\ }\mathbf{перпендикулярна\ }\]

\[\mathbf{его\ поверхности.\ }\]

\[\mathbf{При\ отражении\ в\ зеркале\ }\]

\[\mathbf{голова\ останется\ вверху,\ }\]

\[\mathbf{ноги\ - \ внизу,\ перед\ }\]

\[\mathbf{останется\ передом,\ но\ правая\ и\ }\]

\[\mathbf{левая\ стороны\ поменяются\ }\]

\[\mathbf{местами.}\]

24

\[\boxed{\mathbf{24.}}\]

\[1)\ Прямоугольный\ лист\ бумаги\ \]

\[разедлим\ пополам\ по\ длине.\]

\[2)\ Теперь\ разделим\ на\ 4\ части\ \]

\[по\ ширине.\]

\[3)\ Разрежем\ в\ трех\ местах.\]

\[4)\ Поднимем\ среднюю\ часть\ \]

\[справа.\]

\[5)\ Перевернем\ одну\ из\ нижних\ \]

\[частей\ по\ разрезу.\]

\[6)\ Сложим\ фигуру\ вверху\ и\ \]

\[сделаем\ заломы\ по\ бокам,\ \]

\[чтобы\ она\ стояла.\]