Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 847

\[\boxed{\mathbf{847.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCD - четырехугольник;\ \ \]

\[AB = a;\ \ BC = b;\ \ \]

\[CD = c;\ \ DA = d;\]

\[p - полуперимтер.\]

\[Доказать:\ \text{\ \ }\]

\[\textbf{б)}\ S =\]

\[= \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}.\]

\[Доказательство:\]

\[\textbf{а)}\ 1)\ Построим\ диагональ\ AC:\]

\[S_{\text{ABCD}} = S_{\text{ABC}} + S_{\text{ACD}} =\]

\[= \frac{1}{2}ab \bullet \sin B + \frac{1}{2}cd \bullet \sin D\]

\[2)\ По\ теореме\ косинусов:\]

\[AC^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \bullet \cos B =\]

\[= c^{2} + d^{2} - 2cd \bullet \cos D\]

\[ab \bullet \cos B =\]

\[= \frac{a^{2} + d^{2} + a^{2} - b^{2}}{2} - cd \bullet \cos D.\]

\[3)\ Таким\ образом:\]

\[По\ формуле\ \ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b):\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ ABCD - вписанный:\]

\[\angle B + \angle D = 180{^\circ};\]

\[\cos{\frac{B + D}{2} =}0;\]

\[S =\]

\[= \sqrt{(p - c)(p - d)(p - a)(p - b)}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказаать.\]