Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 837

\[\boxed{\mathbf{837.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AD - биссектриса;\]

\[AD \cap BC = D.\]

\[Доказать:\]

\[\frac{\text{BD}}{\text{AB}} = \frac{\text{DC}}{\text{AC}}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{ADB\ }и\ \mathrm{\Delta}ADC:\]

\[AH - общая\ высота;\]

\[\frac{S_{\text{ADB}}}{S_{\text{ADC}}} = \frac{BD \bullet AH}{CD \bullet AH} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}} -\]

\[площади\ относятся\ как\ \]

\[основания\ треугольников.\]

\[2)\ S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}DM \bullet AB;\ \ \ \]

\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}DK \bullet AC.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}DKA = \mathrm{\Delta}DAM - по\ \]

\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]

\[DA - общая\ сторона;\ \]

\[\angle DAK = \angle DAM\ \]

\[(так\ как\ AD - биссектриса).\]

\[Отсюда:\ \]

\[DM = DK.\]

\[4)\ S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}DM \bullet AB;\ \ \]

\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}DK \bullet AC;\ \ \ DM = DK:\]

\[\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]

\[5)\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}:\]

\[\frac{\text{BD}}{\text{AB}} = \frac{\text{DC}}{\text{AC}}\ \]

\[(по\ свойству\ пропорции).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]