Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 829

\[\boxed{\mathbf{829.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - вписанный\ \]

\[четырехугольник.\]

\[Доказать:\]

\[AC \bullet BD = AD \bullet BC + AB \bullet DC.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Возьмем\ на\ диагонали\ \text{AC\ }\]

\[такую\ точку\ K,\ что\]

\[\angle ABK = \angle CBD.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{ABK\ }и\ \mathrm{\Delta}CBD:\]

\[\angle ABK = \angle CBD\ \]

\[(по\ построению);\]

\[\angle BDC = \angle KAB\ \]

\[\left( как\ опирающиеся\ на\ одну\ дугу\ \text{BC} \right).\]

\[Значит:\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABK\sim\ \mathrm{\Delta}CBD;\]

\[\frac{\text{AK}}{\text{DC}} = \frac{\text{AB}}{\text{DB}} = \frac{\text{BK}}{\text{BC}};\]

\[\angle AKB = \angle DCB;\]

\[AK = (BC \bullet AD)\ :\ BD.\]

\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{BCK\ }и\ \mathrm{\Delta}ABD:\]

\[\angle BKC = 180{^\circ} - \angle AKB;\]

\[\angle DAB = 180{^\circ} - \angle DCB\]

\[Значит:\ \]

\[\angle BKC = \angle DAB;\]

\[\angle BCK = \angle ADB\ \]

\[\left( как\ опирающиеся\ на\ одну\ дугу\ \text{AB} \right).\]

\[Значит:\ \]

\[\mathrm{\Delta}BCK\sim\ \mathrm{\Delta}ABD;\]

\[\frac{\text{BK}}{\text{AB}} = \frac{\text{BC}}{\text{BD}} = \frac{\text{KC}}{\text{AD}};\ \ \ \]

\[AK = (DC \bullet AB)\ :DB.\]

\[4)\ Таким\ образом:\]

\[AC = KC + AK =\]

\[= \frac{BC \bullet AD}{\text{BD}} + \frac{DC \bullet AB}{\text{DB}}\]

\[AC \bullet BD = BC \bullet AD + DC \bullet AB.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]