Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 801
801
\[\boxed{\mathbf{801.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[высота\ конуса\ h = \lambda R.\]
\[Найти:\ \]
\[радиус\ основания\ конуса\ \text{r.}\]
\[Решение.\]
\[1)\ \ Все\ шары\ равны,\ поэтому\ \]
\[рассмотрим\ задачу\ на\ примере\ \]
\[одного\]
\[шара\ \left( O_{1};R \right).\]
\[Пусть\ A_{1} - точка\ касания\ этого\ \]
\[шара\ с\ плоскостью\ a;\]
\[C_{1} - точка\ касания\ шара\ и\ \]
\[конуса.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}MBD - осевое\ сечение\ \]
\[конуса:\]
\[BH = HD = r.\]
\[3)\ Рассмотрим\ \]
\[четырехугольник\ A_{1}BC_{1}O_{1}:\]
\[\angle O_{1}A_{1}B_{1} = {\angle O}_{1}C_{1}B_{1} = 90{^\circ}.\]
\[\mathrm{\Delta}OA_{1}B = \mathrm{\Delta}OC_{1}B - по\ двум\ \]
\[катетам\ \left( O_{1}C_{1} = O_{1}A_{1} = R \right):\]
\[A_{1}B = C_{1}\text{B.}\]
\[\angle A_{1}BC_{1} = 180{^\circ} - \angle C_{1}BH:\]
\[\angle A_{1}O_{1}C_{1} = \angle MBH\ \]
\[(\mathrm{\Delta}OA_{1}B = \mathrm{\Delta}OC_{1}B);\]
\[\angle A_{1}O_{1}B = \frac{1}{2}\angle MBH.\]
\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}MBH:\ \]
\[tg\angle MBH = \frac{\text{λR}}{r};\ \ \ \]
\[A_{1}B = A_{1}H - BH = \frac{2\sqrt{3}R}{3} - r.\]
\[В\ \mathrm{\Delta}O_{1}A_{1}B:\]
\[\text{tg}\frac{\angle MBH}{2} = \frac{A_{1}B}{R} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{r}{R}\]
\[tg\ \angle MBH = \frac{2\ tg\frac{\angle MBH}{2}}{1 - tg^{2}\frac{\angle MBH}{2}} =\]
\[= \frac{2 \bullet 2 \bullet \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2r}{R}}{1 - \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{r}{R} \right)^{2}}\]
\[\frac{\text{λR}}{r} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{2r}{R}}{1 - \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{r}{R} \right)^{2}}.\]
\[Если\ \lambda = 2:\]
\[- 4R \bullet r\sqrt{3} \bullet 1 + 2R^{2} = 0\]
\[r = \frac{R\sqrt{3}}{6}.\]
\[Если\ \lambda \neq 2:\]
\[r =\]
\[= R \bullet \frac{2\sqrt{3}(\lambda - 1) - \sqrt{9\lambda^{2} - 18\lambda + 12}}{3(\lambda - 2)}.\]
\[Ответ:\ \]
\[\frac{2\sqrt{3}(\lambda - 1) - \sqrt{9\lambda^{2} - 18\lambda + 12}}{3(\lambda - 2)}\text{R\ }\]
\[при\ \lambda \neq 2;\ \ \frac{\sqrt{3}}{6}\text{R\ }при\ \lambda = 2.\]
