Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 778

\[\boxed{\mathbf{778.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[куб\ \text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1};\ \]

\[AB = a.\]

\[Доказать:\]

\[существует\ сквозное\ отверстие\ \]

\[со\ стороной \geq a.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Рассмотрим\ проекцию\ куба\ \]

\[на\ плоскость,\ \]

\[перпендикулярную\ его\ \]

\[диагонали.\]

\[Получим\ шестиугольник.\ \]

\[Обозначим\ его\ сторону\ AB = b.\]

\[2)\ Из\ \mathrm{\Delta}ABA_{1}\ по\ теореме\ \]

\[косинусов:\]

\[A_{1}B^{2} = \left( a\sqrt{2} \right)^{2} =\]

\[= b^{2} + b^{2} - 2b^{2}\cos 120^{0} = 3b^{2}\]

\[b^{2} = \frac{2}{3}\text{a\ \ }\]

\[b = \frac{\sqrt{6}}{3}\text{a.}\]

\[3)\ Радиус\ окружности,\ \]

\[вписанной\ в\ шестиугольник:\]

\[r = R \cdot cos30^{0} = \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\]

\[= \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]

\[Это - половина\ диагонали\ \]

\[грани\ куба:то\ есть\ отверстие\ \]

\[подходит\ вплотную.\]

\[Тем\ не\ менее,\ если\ разместить\ \]

\[квадратное\ отверстие\ со\ \]

\[стороной\ a\ параллельно\ \]

\[стороне\ шестиугольника\ \]

\[проекции,\ как\ показано\ на\ \]

\[рисунке,\ то\ другой\ такой\ же\ \]

\[куб\ пройдет\ через\ это\ \]

\[отверстие.\]

\[Докажем,\ что\ OC > OB.\]

\[В\ \mathrm{\Delta}AOC\ :\]

\[OA = \frac{\sqrt{6}}{3}a;\ \angle CAO = 90^{0};\]

\[\angle COA = 45^{0};\]

\[\angle ACO = 180^{0} - 135^{0} = 35^{0}.\]

\[Тогда:\]

\[\frac{\text{OA}}{\sin 35^{0}} = \frac{\text{OC}}{\sin 60^{0}}\]

\[OC = OA\frac{\sin 60^{0}}{\sin 35^{0}} =\]

\[= \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{\underset{= OB}{\overset{2}{︸}}} \cdot (\frac{1}{\underset{> 1}{\overset{\sin 35^{0}}{︸}}} > OB.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]