Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 157

\[\boxed{\mathbf{157.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - ромб;\]

\[AC \cap BD = O;\]

\[OK\bot ABC;\]

\[OK = 4,5\ дм;\]

\[AC = 6\ дм;\]

\[BD = 8\ дм.\]

\[Доказать:\]

\[p(K,AB) = p(K,BC) =\]

\[= p(K,CD) = p(K,DA).\]

\[Найти:\]

\[p(K,AB).\]

\[Решение.\]

\[\textbf{а)}\ 1)\ ABCD - ромб:\]

\[\mathrm{\Delta}AOB = \mathrm{\Delta}BOC = \mathrm{\Delta}COD = \mathrm{\Delta}DOA,\ \]

\[\angle O = 90{^\circ}\ \]

\[(по\ свойству\ диагоналей\ ромба).\]

\[2)\ Пусть\ p(K,AB) = KM:\]

\[KM\bot AB\ и\ p(K,BC) = KN;\ \]

\[KN\bot BC.\]

\[3)\ KO\bot ABC,\ KM\ и\ KN -\]

\[наклонные\ к\ ABC;\]

\[\text{OM\ }и\ ON - проекции;\]

\[KM\bot AB\ и\ KN\bot BC.\]

\[Значит:\]

\[4)\ OM\bot AB:\]

\[OM - высота\ \mathrm{\Delta}\text{AOB}.\]

\[ON\bot BC:\]

\[ON - высота\ \mathrm{\Delta}\text{BOC.}\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}AOB = \mathrm{\Delta}BOC:\]

\[6)\ OM\ и\ ON - проекции\ \text{KM\ }и\ \]

\[\text{KN\ }на\ \text{ABC\ }и\ OM = ON:\]

\[7)\ KM = d(K,AB),\ \]

\[KN = d(K,BC),\ KM = KN:\]

\[p(K,AB) = p(K,BC).\]

\[Отсюда\ делаем\ вывод:\]

\[наклонные\ из\ точки,\ \]

\[принадлежащей\ \]

\[перпендикуляру\ опущенному\ к\ \]

\[общей\ точке\ равных\ \]

\[треугольников,\ лежащих\ на\ \]

\[одной\ плоскости - равны.\]

\[Следовательно:\]

\[p(K,AB) = p(K,BC) =\]

\[= p(K,CD) = p(K,DA).\]

\[\textbf{б)}\ d(K,AB) = KM.\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}AOB - прямоугольный:\]

\[OM\bot AM.\]

\[OM - высота\ \mathrm{\Delta}AOB:\]

\[S_{\text{AOB}} = \frac{1}{2}AB \bullet OM\ и\ S_{\text{AOB}} =\]

\[= \frac{1}{2}AO \bullet OB\]

\[AB \bullet OM = AO \bullet OB\]

\[OM = \frac{AO \bullet OB}{\text{AB}}\]

\[AB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\]

\[OM = \frac{12}{5} = 2,4\ дм.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}KOM - прямоугольный:\]

\[KM = \sqrt{KO^{2} + OM^{2}} =\]

\[= \sqrt{{4,5}^{2} + {2,4}^{2}} = 5,1\ дм.\]

\[Ответ:5,1\ дм.\]