Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 9 класс Макарычев Задание 669
Задание 669
\[\boxed{\text{669}\text{\ (669)}\text{.}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[\textbf{а)}\ Формула\ верна\ при\ n = 1:u_{1} = 1 = u_{2}.\]
\[Допустим,\ что\ при\ n = k,\ формула\ тоже\ верна:\]
\[u_{1} + u_{3} + u_{5} + \ldots + u_{2k - 1} = u_{2k}.\]
\[Докажем,\ что\ формула\ справедлива\ для\ n = k + 1:\]
\[u_{1} + u_{3} + u_{5} + \ldots + u_{2k - 1} + u_{2k + 1} = u_{2k} + u_{2k + 1} =\]
\[= u_{2k + 2} = u_{2(k + 1)} \Longrightarrow ч.т.д.\]
\[\textbf{б)}\ Формула\ верна\ при\ n = 1:u_{1}^{2} = 1 = u_{1} \cdot u_{n + 1}.\]
\[Допустим,\ что\ при\ n = k,\ формула\ тоже\ верна:\]
\[u_{1}² + u_{2}^{2} + u_{3}² + \ldots + u_{k}^{2} = u_{k} \cdot u_{k + 1}.\]
\[Докажем,\ что\ формула\ справедлива\ для\ n = k + 1:\]
\[u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + \ldots + u_{k}^{2} + u_{(k + 1)}^{2} = u_{k} \cdot u_{k + 1} + u_{k + 1}^{2} =\]
\[= u_{k + 1} \cdot \left( u_{k} + u_{k + 1} \right) = u_{k + 1} \cdot u_{k + 2} \Longrightarrow ч.т.д.\]
\[\boxed{\text{669.}\text{\ }\text{ОК\ ГДЗ\ -\ домашка\ на\ 5}}\]
\[\textbf{а)}\ x_{1} + 1;x_{2} + 1;\ldots;x_{n} + 1;\ldots;\]
\[c_{1} = x_{1} + 1,\ \ \]
\[c_{n} = x_{n} + 1 = x_{n} \cdot q^{n} + 1,\ \]
\[q = \frac{c_{n}}{c_{n - 1}} = \frac{x_{n} \cdot q^{n} + 1}{x_{n - 1} \cdot q^{n - 1} + 1} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow зависит\ от\ n \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow не\ геометрическая\ \]
\[прогрессия.\]
\[\textbf{б)}\ 3x_{1};3x_{2};\ldots;3x_{n};\ldots;\]
\[c_{1} = 3x_{1},\ \ c_{n} = 3x_{n},\ \ \]
\[\frac{c_{n}}{c_{n - 1}} = \frac{3x_{n}}{3x_{n - 1}} = q \Longrightarrow геометрическая\ \]
\[прогрессия.\]
\[\textbf{в)}\ x_{1}^{2};x_{2}^{2};\ldots;x_{n}^{2};\ldots;\]
\[c_{1} = x_{1}^{2},\ \ c_{n} = x_{n}^{2},\ \ \]
\[\frac{c_{n}}{c_{n - 1}} = \frac{x_{n}^{2}}{x_{(n - 1)}^{2}} = q^{2} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow геометрическая\ \]
\[прогресссия.\]
\[\textbf{г)}\frac{1}{x_{1}};\frac{1}{x_{2}};\ldots;\frac{1}{x_{n}};\ldots;\ \]
\[c_{1} = \frac{1}{x_{1}},\ \ c_{n} = \frac{1}{x_{n}} = \frac{1}{c_{1}q^{n - 1}},\ \ \]
\[\frac{c_{n}}{c_{n - 1}} = \frac{1}{c_{1}q^{n - 1}} \cdot c_{1}q^{n - 2} = q^{- 1} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow геометрическая\ \]
\[прогресссия.\]
