Решебник по алгебре 9 класс Макарычев Задание 665

\[\boxed{\text{665}\text{\ (665)}\text{.}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[Формула\ верна\ при\ n = 1:\ \ 1 \cdot (3 + 1) = 4 = 1 \cdot (1 + 1)².\]

\[Допустим,\ что\ при\ n = k,\ формула\ тоже\ верна \Longrightarrow то\ есть,\]

\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + k(3k + 1) = k(k + 1)^{2}.\]

\[Докажем,\ что\ формула\ справедлива\ для\ n = k + 1:\]

\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + k(3k + 1) + (k + 1)\left( 3 \cdot (k + 1) + 1 \right) =\]

\[= k(k + 1)^{2} + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)\left( k(k + 1) + 3k + 4 \right) =\]

\[= (k + 1)\left( k^{2} + k + 3k + 4 \right) = (k + 1)(k + 2)^{2} \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\boxed{\text{665.}\text{\ }\text{ОК\ ГДЗ\ -\ домашка\ на\ 5}}\]

\[\textbf{а)}\ a_{n} = 2n + 1\]

\[a_{1} = 3,\ \ S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n =\]

\[= \frac{2n + 1 + 3}{2} \cdot n = n(n + 2);\]

\[\textbf{б)}\ a_{n} = 3 - n,\ \ a_{1} = 2,\ \]

\[S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n =\]

\[= \frac{2 + 3 - n}{2} \cdot n = \frac{n(5 - n)}{2}.\]