Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-3. Рациональные выражения. Уравнения с одной переменной Вариант 3

1. Найдите область определения дроби:

а) 3/(2a+a^2)

б) 10/(4+a^2)

2. Упростите выражение ((x+y)/y-(x+y)/x):(3*(y+x))/xy.

3. Решите уравнение:

а) (16-x^2)(2x+9)=0;

б) x^4-x^2-12=0.

4. При каких значениях переменной m сумма дробей 3/m и 3/(m + 2) равна 4?

5. Составьте уравнение по условию задачи: «Пешеход за некоторое время прошёл 5 км, а велосипедист за такой же промежуток времени проехал 15 км. Известно, что скорость велосипедиста на 12 км/ч больше скорости пешехода. С какой скоростью шёл пешеход?»

6. Сократите дробь (4x+3)/(4x^2-5x-6).

7. Постройте график функции y=(x^2-4)/(x+2).

8. Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функции, заданной формулой y=x^3-2x^2+2-x.

*9. Изобразите схематически график функции, рассмотренной в задании 8.

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{3}{2a + a^{2}}\]

\[ООФ:\]

\[2a + a^{2} \neq 0\]

\[a(a + 2) \neq 0\]

\[a \neq 0;\ \ a \neq - 2.\]

\[a \in ( - \infty; - 2) \cup ( - 2;0) \cup (0;\ + \infty).\]

\[\textbf{б)}\ \frac{10}{4 + a^{2}}\]

\[ООФ:\]

\[4 + a^{2} \neq 0\]

\[a^{2} \neq - 4\]

\[a - любое\ число.\]

\[a \in ( - \infty; + \infty).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\left( \frac{x + y^{\backslash x}}{y} - \frac{x + y^{\backslash y}}{x} \right)\ :\frac{3 \cdot (y + x)}{\text{xy}} =\]

\[= \frac{x \cdot (x + y) - y \cdot (x + y)}{\text{xy}} \cdot \frac{\text{xy}}{3 \cdot (x + y)} =\]

\[= \frac{(x + y)(x - y)}{3 \cdot (x + y)} = \frac{x - y}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[\textbf{а)}\ \left( 16 - x^{2} \right)(2x + 9) = 0\]

\[1)\ 16 - x^{2} = 0\]

\[x^{2} = 16\]

\[x = \pm 4.\]

\[2)\ 2x + 9 = 0\]

\[2x = - 9\]

\[x = - 4,5.\]

\[Ответ:x = - 4,5;x = \pm 4.\]

\[\textbf{б)}\ x^{4} - x^{2} - 12 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = y:\]

\[y^{2} - y - 12 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = 1;\ \ y_{1} \cdot y_{2} = - 12\]

\[y_{1} = 4;\ \ \ y_{2} = - 3.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ x^{2} = 4\]

\[x = \pm 2.\]

\[2)\ x^{2} = - 3\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:\ x = \pm 2.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[\frac{3}{m} + \frac{3}{m + 2} = 4\ \ \ \ | \cdot m(m + 2)\]

\[3 \cdot (m + 2) + 3m = 4m(m + 2)\]

\[3m + 6 + 3m = 4m^{2} + 8m\]

\[4m^{2} + 8m - 6m - 6 = 0\]

\[4m^{2} + 2m - 6 = 0\ \ \ \ |\ :2\]

\[2m^{2} + m - 3 = 0\]

\[D = 1 + 24 = 25\]

\[m_{1} = \frac{- 1 + 5}{4} = 1;\ \ m_{2} = \frac{- 1 - 5}{4} = - 1,5.\]

\[Ответ:при\ m = - 1,5;m = 4.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - скорость\ пешехода;\]

\[(x + 12)\ \frac{км}{ч} - скорость\ велосипедиста.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{5}{x} = \frac{15}{x + 12}\]

\[5 \cdot (x + 12) = 15x\]

\[5x + 60 = 15x\]

\[10x = 60\]

\[x = 6\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ пешхода.\]

\[Ответ:5\ \frac{км}{ч}.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[\frac{4x + 3}{4x^{2} - 5x - 6} = \frac{4x + 3}{(4x + 3)(x - 2)} = \frac{1}{x - 2}.\]

\[4x^{2} - 5x - 6 = 4 \cdot \left( x + \frac{3}{4} \right)(x - 2) =\]

\[= (4x + 3)(x - 2)\]

\[D = 25 + 96 = 121\]

\[x_{1} = \frac{5 + 11}{8} = 2;\]

\[x_{2} = \frac{5 - 11}{8} = - \frac{6}{8} = - \frac{3}{4}.\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[y = \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2\]

\[y = x - 2;\ \ x \neq - 2.\]

\[\boxed{\mathbf{8.}}\]

\[y = x^{3} - 2x^{2} + 2 - x = x^{2}(x - 2) - (x - 2) =\]

\[= (x - 2)\left( x^{2} - 1 \right) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)\]

\[x_{1} = 2;\ \ x_{2} = 1;\ \ x_{3} = - 1.\]

\[Ответ:x = \pm 1;x = 2.\]

\[\boxed{\mathbf{9.}}\]

\[y = x^{3} - 2x^{2} + 2 - x\]