Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-4. Системы уравнений Вариант 2

1. Решите систему уравнений xy=8; x+y=6.

2. а) Какие линии являются графиками уравнений x^2-y=-1 и x+y=1? Назовите их.

б) Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений x^2-y=-1 и x+y=1.

3. Дана задача: «Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Чему равны стороны прямоугольника?»

а) Составьте систему уравнений по условию задачи.

б) Дайте ответ на вопрос задачи, выполнив необходимые вычисления.

4. С помощью схематических графиков выясните, сколько корней имеет уравнение 0,5x^2=1/x.

5. Решите систему уравнений (x+2)(y-1)=0; x^2-xy-12=0.

6. Парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси у, проходит через точку (3; -3). В каких точках эта парабола пересекает прямую y=-27?

7. При каких значениях m система уравнений 2x-3y=8; x+y=-1; 3x-y=m имеет решение?

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[\left\{ \begin{matrix} xy = 8\ \ \ \ \ \\ x + y = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = 6 - y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (6 - y) \cdot y = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[6y - y^{2} = 8\]

\[y^{2} - 6y + 8 = 0\]

\[D_{1} = 9 - 8 = 1\]

\[y_{1} = 3 + 1 = 4 \rightarrow x_{1} = 2;\]

\[y_{2} = 3 - 1 = 2 \rightarrow x_{2} = 4.\]

\[Ответ:(2;4);(4;2).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\textbf{а)}\ x^{2} - y = - 1 \rightarrow y = x^{2} + 1 \rightarrow парабола.\]

\[x + y = 1 \rightarrow y = 1 - x \rightarrow прямая.\]

\[\textbf{б)}\ x^{2} + 1 = 1 - x\]

\[x^{2} + x = 0\]

\[x(x + 1) = 0\]

\[x_{1} = 0 \rightarrow y = 1;\]

\[x_{2} = - 1;y_{2} = 2.\]

\[Ответ:(0;1);( - 1;2).\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[P = 34\ см;\ \ d = 13\ см.\]

\[a + b = 34\ :2 = 17\ см.\]

\[\textbf{а)}\ \ \left\{ \begin{matrix} a + b = 17\ \ \ \ \ \ \\ a^{2} + b^{2} = 169 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} a = 17 - b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (17 - b)^{2} + b^{2} = 169 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[289 - 34b + b^{2} + b^{2} = 169\]

\[2b^{2} - 34b + 120 = 0\ \ \ |\ :2\]

\[b^{2} - 17b + 60 = 0\]

\[b_{1} + b_{2} = 17;\ \ b_{1} \cdot b_{2} = 60\]

\[b_{1} = 12 \rightarrow a_{1} = 5;\text{\ \ }\]

\[b_{2} = 5 \rightarrow a_{2} = 12.\]

\[Ответ:длины\ сторон\ 5\ см\ и\ 12\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[0,5x^{2} = \frac{1}{x}\]

\[y = 0,5x^{2};\ \ y = \frac{1}{x}.\]

\[Ответ:уравнение\ имеет\ один\ корень.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[\left\{ \begin{matrix} (x + 2)(y - 1) = 0 \\ x^{2} - xy - 12 = 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x + 2 = 0\]

\[x = - 2:\]

\[( - 2)^{2} + 2y - 12 = 0\]

\[2y - 8 = 0\]

\[2y = 8\]

\[y = 4.\]

\[y - 1 = 0\]

\[y = 1:\]

\[x^{2} - x - 12 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 1;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 12\]

\[x_{1} = 4;\ \ \ \ x_{2} = 3.\]

\[Ответ:( - 2;4);(4;1);(3;1).\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[Так\ как\ парабола\ проходит\ через\ \]

\[начало\ координат,\ то\ уравнение\ \]

\[имеет\ вид:\]

\[y = ax^{2}.\]

\[Точка\ (3;\ - 3):\]

\[- 3 = a \cdot 3^{2}\]

\[9a = - 3\]

\[a = - \frac{1}{3}.\]

\[Уравнение:\]

\[y = - \frac{1}{3}x^{2}.\]

\[При\ y = - 27:\]

\[- \frac{1}{3}x^{2} = - 27\]

\[x^{2} = 27 \cdot 3\]

\[x^{2} = 81\]

\[x = \pm 9.\]

\[Парабола\ пересекает\ прямую\ y = - 27\ \]

\[в\ точках\ ( - 9;\ - 27);(9;\ - 27).\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2x - 3y = 8 \\ x + y = - 1\ \ \\ 3x - y = m\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = - x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2x - 3 \cdot ( - x - 1) = 8 \\ 3x - ( - x - 1) = m\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2x + 3x + 3 = 8 \\ 3x + x + 1 = m\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} 5x = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ m = 4x + 1 \\ \end{matrix}\ \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:при\ m = 5.\]