Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-4. Системы уравнений Вариант 1

1. Решите систему уравнений x-y=7; xy=-10.

2. а) Какие линии являются графиками уравнений x+y=4 и x^2-y=2? Назовите их.

б) Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений x+y=4 и x^2-y=2.

3. Дана задача: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см больше другого. Чему равны катеты? »

а) Составьте систему уравнений по условию задачи.

б) Дайте ответ на вопрос задачи, выполнив необходимые вычисления.

4. С помощью схематических графиков выясните, сколько корней имеет уравнение 2/x=x+1.

5. Решите систему уравнений (x-1)(y+4)=0; y^2+xy-2=0.

6. Парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси у, проходит через точку (-2; 1). В каких точках эта парабола пересекает прямую y=9?

7. При каких значениях c система уравнений 2x+3y=4; x-y=-3; x+2y=c имеет решение?

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x - y = 7 \\ xy = - 10\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = 7 + y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (7 + y) \cdot y = - 10 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[7y + y^{2} = - 10\]

\[y^{2} + 7y + 10 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = - 7;\ y_{1} \cdot y_{2} = 10\]

\[y_{1} = - 5 \rightarrow x_{1} = 7 - 5 = 2.\]

\[y_{2} = - 2 \rightarrow x_{2} = 7 + 2 = 5.\]

\[Ответ:(2;\ - 5);(5; - 2).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\textbf{а)}\ x + y = 4 \rightarrow y = 4 - x \rightarrow прямая.\]

\[x^{2} - y = 2 \rightarrow y = x^{2} - 2 \rightarrow парабола.\]

\[\textbf{б)}\ 4 - x = x^{2} - 2\]

\[x^{2} + x - 6 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 1;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 6\]

\[x_{1} = - 3 \rightarrow y_{1} = 7;\]

\[x_{2} = 2 \rightarrow y_{2} = 2.\]

\[Ответ:(2;2);( - 3;7).\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[\textbf{а)}\ c = 15\ см;\ \ a = b + 3.\]

\[\left\{ \begin{matrix} b + 3 = a\ \ \ \ \ \ \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} a = b + 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ b^{2} + (b + 3)^{2} = 225 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\textbf{б)}\ b^{2} + (b + 3)^{2} = 225\]

\[b^{2} + b^{2} + 6b + 9 = 225\]

\[2b^{2} + 6b - 216 = 0\ \ \ |\ :2\]

\[b^{2} + 3b - 108 = 0\]

\[D = 9 + 432 = 441 = 21^{2}\]

\[b_{1} = \frac{- 3 - 21}{2} = - \frac{24}{2} = - 12\ (не\ подходит).\]

\[b_{2} = \frac{- 3 + 21}{2} = 9\ (см) - один\ катет.\]

\[a = 9 + 3 = 12\ (см) - второй\ катет.\]

\[Ответ:9\ см\ и\ 12\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[\frac{2}{x} = x + 1\]

\[y = \frac{2}{x};\ \ y = x + 1.\]

\[Ответ:уравнение\ имеет\ два\ решения.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[\left\{ \begin{matrix} (x - 1)(y + 4) = 0 \\ y^{2} + xy - 2 = 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[1)\ x - 1 = 0\]

\[x = 1:\]

\[y^{2} + 1 \cdot y - 2 = 0\]

\[y^{2} + y - 2 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = - 1;\ \ y_{1} \cdot y_{2} = - 2\]

\[y_{1} = - 2;\ \ y_{2} = 1.\]

\[2)\ y + 4 = 0\]

\[y = - 4:\]

\[( - 4)^{2} - 4x - 2 = 0\]

\[16 - 4x - 2 = 0\]

\[- 4x = - 14\]

\[x = 14\ :4\]

\[x = 3,5.\]

\[Ответ:(1;1);(1;\ - 2);(3,5;\ - 4).\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[Так\ как\ парабола\ проходит\ через\ \]

\[начало\ координат,\ то\ уравнение\ \]

\[имеет\ вид:\]

\[y = ax^{2}.\]

\[Точка\ ( - 2;1):\ \]

\[1 = a \cdot ( - 2)^{2}\]

\[4a = 1\]

\[a = \frac{1}{4}.\]

\[Уравнение\ параболы:\ \frac{1}{4}\ x^{2}.\]

\[\frac{1}{4}x^{2} = 9\]

\[x^{2} = 36\]

\[x = \pm 6.\]

\[Парабола\ пересекает\ y = 9\ в\ точках\]

\[( - 6;9)\ (6;9).\]

\[Ответ:\ ( - 6;9)\ (6;9).\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 4 \\ x - y = - 3\ \ \\ x + 2y = c\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = y - 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2 \cdot (y - 3) + 3y = 4 \\ (y - 3) + 2y = c\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2y - 6 + 3y = 4 \\ y - 3 + 2y = c\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} 5y = 10\ \ \ \ \ \\ c = 3y - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:при\ c = 3.\]