Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк контрольные работы КР-3. Решение квадратных неравенств. Системы уравнений с двумя переменными Вариант 4

Условие:

1. Решите неравенство:

1) x^2+5x-6<0

2) 8x^2+24x≥0

3) x^2<64

4) x^2-12x+36>0

2. Решите систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ xy + 2x = - 12 \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Найдите область определения функции:

1) y=√(7x-x²)

2) y=11/√(9+7x-2x^2 )

4. Решите графически систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} y = 4x - x^{2} \\ 2x + y = 5\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

5. От двух пристаней, расстояние между которыми равно 50 км, отправились одновременно навстречу друг другу два катера и встретились через 1 ч после начала движения. Найдите скорость каждого катера, если один из них проходит 60 км на 1 ч быстрее другого.

6. Решите систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} 16x^{2} + 8xy + y^{2} = 36 \\ 3x - y = 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{2} + 5x - 6 < 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 5;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 6\]

\[x_{1} = - 6;\ \ x_{2} = 1\]

\[(x + 6)(x - 1) < 0\]

\[x \in ( - 6;1).\]

\[2)\ 8x^{2} + 24x \geq 0\]

\[8x(x + 3) \geq 0\]

\[x \in ( - \infty - 3\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty).\]

\[3)\ x^{2} < 64\]

\[x^{2} - 64 < 0\]

\[(x + 8)(x - 8) < 0\]

\[x \in ( - 8;8).\]

\[4)\ x^{2} - 12x + 36 > 0\]

\[(x - 6)^{2} > 0\]

\[x \neq 6\]

\[x \in ( - \infty;6)(6; + \infty).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ xy + 2x = - 12 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 4 - 2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x(4 - 2x) + 2x = - 12 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[4x - 2x^{2} + 2x + 12 = 0\]

\[- 2x^{2} + 6x + 12 = 0\ \ \ \ |\ :( - 2)\]

\[x^{2} - 3x - 4 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 3;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 4\]

\[x_{1} = 4;\ \ \ \ x_{2} = - 1\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 4\ \ \ \\ y = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 6\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(4;\ - 4);\ \ ( - 1;6).\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ y = \sqrt{7x - x²}\]

\[7x - x^{2} \geq 0\]

\[x^{2} - 7x \leq 0\]

\[x(x - 7) \leq 0\]

\[D(y) = \lbrack 0;7\rbrack.\]

\[2)\ y = \frac{11}{\sqrt{9 + 7x - 2x^{2}}}\]

\[9 + 7x - 2x^{2} > 0\]

\[2x^{2} - 7x - 9 < 0\]

\[D = 49 + 72 = 121\]

\[x_{1} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4,5;\]

\[x_{2} = \frac{7 - 11}{4} = - 1\]

\[2(x + 1)(x - 4,5) < 0\]

\[D(y) = ( - 1;4,5).\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 4x - x^{2} \\ 2x + y = 5\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 4x - x² \\ y = 5 - 2x\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x = 1;\ \ x = 5\]

\[Ответ:(1;3);(5;\ - 5).\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[первого\ катера;\]

\[\text{y\ }\frac{км}{ч} - скорость\ второго\ \]

\[катера.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x + y = 50\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{60}{x} - \frac{60}{y} = 1\ \ \ | \cdot xy \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 50 - y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 60y - 60x = xy \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 50 - y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 60y - 60(50 - y) = y(50 - y) \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[60y - 3000 + 60y = 50y - y^{2}\]

\[y^{2} + 120y - 50y - 3000 = 0\]

\[y^{2} + 70y - 3000 = 0\]

\[D = 1225 + 3000 = 4225 = 65^{2}\]

\[y_{1} = - 35 + 65 = 30;\]

\[y_{2} = - 35 - 65 =\]

\[= - 100\ (не\ подходит).\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 30 \\ x = 20 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:20\ \frac{км}{ч}\ и\ 30\ \frac{км}{ч}\text{.\ }\]

\[\boxed{\mathbf{6.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 16x^{2} + 8xy + y^{2} = 36 \\ 3x - y = 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 3x - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \\ (4x + y)^{2} = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 3x - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (4x + 3x - 8)^{2} = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 3x - 8\ \ \ \ \ \ \ \\ (7x - 8)^{2} = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[7x - 8 = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x - 8 = - 6\]

\[7x = 14\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x = 2\]

\[x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \frac{2}{7}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 2\ \ \ \\ y = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = \frac{2}{7}\text{\ \ \ \ \ \ \ } \\ y = - 7\frac{1}{7} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(2;\ - 2);\left( \frac{2}{7};\ - 7\frac{1}{7} \right).\]

## КР-4. Элементы прикладной математики