Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Числовые последовательности Вариант 4.

Условие:

1. Найдите седьмой член и сумму первых семи членов арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = 5, a_2 = 11.

2. Найдите шестой член и сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = 1 и q = 2.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии –6, 1, –1/6, …

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (a_n), равного 8,9, если a_1 = 4,1 и d = 0,6.

5. Какие два числа надо вставить между числами 3 и –192, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении x значения выражений x – 7, x + 5 и 3x + 1 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 11, которые больше 100 и меньше 180.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{1} = 5;\ \ a_{2} = 11:\]

\[d = a_{2} - a_{1} = 11 - 5 = 6.\]

\[a_{7} = a_{1} + 6d = 5 + 6 \cdot 6 = 41.\]

\[S_{7} = \frac{(5 + 41) \cdot 7}{2} = \frac{46}{2} \cdot 7 =\]

\[= 23 \cdot 7 = 161.\]

\[Ответ:\ a_{7} = 41;\ \ S_{7} = 161.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = \frac{1}{8};\ \ \ q = 2:\]

\[b_{6} = \frac{1}{8} \cdot q^{5} = \frac{1}{8} \cdot 32 = 4.\]

\[S_{6} = \frac{\frac{1}{8} \cdot \left( q^{6} - 1 \right)}{q - 1} = \frac{\frac{1}{8} \cdot (64 - 1)}{2 - 1} =\]

\[= \frac{1}{8} \cdot 63 = \frac{63}{8} = 7\frac{7}{8}.\]

\[Ответ:7\frac{7}{8}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[- 6;\ \ 1;\ - \frac{1}{6};\ldots\]

\[b_{1} = - 6;\ \ q = - \frac{1}{6} < 1.\]

\[S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{- 6}{1 + \frac{1}{6}} = - 6\ :\frac{7}{6} =\]

\[= - 6 \cdot \frac{6}{7} = - \frac{36}{7} = - 5\frac{1}{7}.\]

\[Ответ:\ - 5\frac{1}{7}.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{n} = 8,9;\ \ a_{1} = 4,1;\ \ d = 0,6.\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d\]

\[4,1 + (n - 1) \cdot 0,6 = 8,9\]

\[0,6n - 0,6 = 8,9 - 4,1\]

\[0,6n = 4,8 + 0,6\]

\[0,6n = 5,4\]

\[n = 9.\]

\[Ответ:n = 9.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = 3;\ \ \ b_{4} = - 192.\]

\[3;\ \ b_{1}q;\ \ b_{1}q^{2};\ - 192\]

\[3q^{3} = - 192\]

\[q^{3} = - 64\]

\[q = - 4.\]

\[b_{1}q = 3 \cdot ( - 4) = - 12;\]

\[b_{1}q^{2} = 3 \cdot ( - 4)^{2} = 3 \cdot 16 = 48.\]

\[Ответ:\ \ числа\ - 12;48.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x - 7;x + 5;3x + 1\]

\[(x + 5)^{2} = (x - 7)(3x + 1)\]

\[x^{2} + 10x + 25 = 3x^{2} - 21x + x - 7\]

\[3x^{2} - x^{2} - 20x - 10x - 7 - 25 = 0\]

\[2x^{2} - 30x - 32 = 0\ \ \ \ \ |\ :2\]

\[x^{2} - 15x - 16 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 15;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 16\]

\[x_{1} = 16;\ \ \ x_{2} = - 1.\]

\[b_{1} = x - 7 = 16 - 7 = 9;\]

\[b_{2} = x + 5 = 16 + 5 = 21;\]

\[b_{3} = 3x + 1 = 48 + 1 = 49.\]

\[ИЛИ:\]

\[b_{1} = x - 7 = - 1 - 7 = - 8;\]

\[b_{2} = x + 5 = - 1 + 5 = 4;\]

\[b_{3} = 3x + 1 = - 3 + 1 = - 2.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Числа\ образуют\ \]

\[арифметическую\ прогрессию,\ \]

\[где\ d = 11:\]

\[a_{1} = 110;\]

\[a_{n} = 176.\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1)d\]

\[110 + (n - 1) \cdot 11 = 176\]

\[11n - 11 = 176 - 110\]

\[11n = 66 + 11\]

\[11n = 77\]

\[n = 7.\]

\[S_{7} = \frac{(110 + 176) \cdot 7}{2} = \frac{286}{2} \cdot 7 =\]

\[= 143 \cdot 7 = 1001.\]

\[Ответ:1001.\]

## КР-6. Обобщение и систематизация знаний учащихся