Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Числовые последовательности Вариант 3.

Условие:

1. Найдите десятый член и сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = 2, a_2 = 6.

2. Найдите третий член и сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = –1/25 и q = 5.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии –4, 1, –1/4 , …

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (a_n), равного 4,9, если a_1= 1,4 и d = 0,5.

5. Какие два числа надо вставить между числами 4 и –108, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении x значения выражений x – 3, x + 4 и 2x – 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые больше 120 и меньше 210.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{1} = 2;\ \ a_{2} = 6:\]

\[d = a_{2} - a_{1} = 6 - 2 = 4;\]

\[a_{10} = a_{1} + 9d = 2 + 9 \cdot 4 = 38.\]

\[S_{10} = \frac{(2 + 38) \cdot 10}{2} =\]

\[= 40 \cdot 5 = 200.\]

\[Ответ:a_{10} = 38;\ \ S_{10} = 200.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = - \frac{1}{25};\ \ q = 5:\]

\[b_{3} = b_{1} \cdot q^{2} = - \frac{1}{25} \cdot 25 = - 1.\]

\[S_{4} = \frac{b_{1}\left( q^{4} - 1 \right)}{q - 1} =\]

\[= \frac{- \frac{1}{25}(625 - 1)}{- 1 - 1} = \frac{- \frac{1}{25} \cdot 624}{- 2} =\]

\[= \frac{1}{25} \cdot 312 = \frac{312}{25} = 12,48.\]

\[Ответ:12,48.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[- 4;1;\ - \frac{1}{4};\ldots\]

\[b_{1} = - 4;\ \ \ q = - \frac{1}{4} < 1.\]

\[S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{- 4}{1 + \frac{1}{4}} = - 4\ :\frac{5}{4} =\]

\[= - 4 \cdot \frac{4}{5} = - \frac{16}{5} = - 3\frac{1}{2} = - 3,5.\]

\[Ответ:\ - 3,5.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{n} = 4,9;\ \ a_{1} = 1,4;\ \ d = 0,5.\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d\]

\[4,9 = 1,4 + (n - 1) \cdot 0,5\]

\[0,5n - 0,5 = 4,9 - 1,4\]

\[0,5n = 3,5 + 0,5\]

\[0,5n = 4\]

\[n = 8.\]

\[Ответ:n = 8.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = 4;\ \ b_{4} = - 108:\]

\[4;\ \ b_{1}q;\ \ b_{1}q^{2};\ - 108\]

\[4q^{3} = - 108\]

\[q^{3} = - 27\]

\[q = - 3.\]

\[b_{1}q = 4 \cdot ( - 3) = - 12;\]

\[b_{1}q^{2} = 4 \cdot ( - 3)^{2} = 4 \cdot 9 = 36.\]

\[Ответ:числа\ - 12;\ 36.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x - 3;x + 4;2x - 40\]

\[(x + 4)^{2} = (x - 3)(2x - 40)\]

\[x^{2} + 8x + 16 = 2x^{2} - 6x - 40x + 120\]

\[2x^{2} - x^{2} - 46x - 8x + 120 - 16 = 0\]

\[x^{2} - 54x + 104 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 54;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 104\]

\[x_{1} = 52;\ \ x_{2} = 2.\]

\[b_{1} = 52 - 3 = 49;\]

\[b_{2} = 52 + 4 = 56;\]

\[b_{3} = 2 \cdot 52 - 40 = 104 - 40 = 64.\]

\[ИЛИ:\]

\[b_{1} = 2 - 3 = - 1;\]

\[b_{2} = 2 + 4 = 6;\]

\[b_{3} = 2 \cdot 2 - 40 = - 36.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Числа\ образуют\]

\[арифметическую\ прогрессию,\ \]

\[где\ d = 9.\]

\[a_{1} = 126;\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = 207.\]

\[126 + (n - 1) \cdot 9 = 207\]

\[9n - 9 = 207 - 126\]

\[9n = 81 + 9\]

\[9n = 90\]

\[n = 10.\]

\[S_{10} = \frac{(126 + 207) \cdot 10}{2} =\]

\[= 333 \cdot 5 = 1665.\]

\[Ответ:1665.\]