Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 9 класс Макарычев контрольные работы КР-5. Уравнения и неравенства с двумя переменными Вариант 2
Вариант 2
Условие:
1. Решите систему уравнений:
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} x + 5y = - 3\ \ \ \ \ \ \\ xy + 11y = - 36 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} - 2y = 14 \\ 2x + y = 3\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \ \]
2. Периметр прямоугольника равен 28 см, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.
3. Опишите неравенством множество точек, расположенных в координатной плоскости:
а) ниже параболы, задаваемой уравнением y = –x² – 4;
б) вне круга с центром в начале координат и радиусом, равным 13.
4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков уравнений
x² + y – 10 = 0 и y = 3x² – x – 4.
5. Изобразите в координатной плоскости множество решений системы неравенств
\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 25 \\ y \leq 5 - x\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} x + 5y = - 3\ \ \ \ \ \ \\ xy + 11y = - 36 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} x = - 5y - 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ ( - 5y - 3)y + 11y = - 36 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[- 5y^{2} - 3y + 11y + 36 = 0\ \ \ \]
\[- 5y^{2} + 8y + 36 = 0\ \ \ \ \ |\ :( - 1)\]
\[5y^{2} - 8y - 36 = 0\]
\[D = 16 + 180 = 196\]
\[y_{1} = \frac{4 + 14}{5} = \frac{18}{5} = 3,6\]
\[y_{2} = \frac{4 - 14}{5} = - \frac{10}{5} = - 2.\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 3,6\ \ \\ x = - 21 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = - 2 \\ x = 7\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:(7;\ - 2)\ и\ ( - 21;3,6)\]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} - 2y = 14 \\ 2x + y = 3\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \ \]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 3 - 2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3x^{2} - 2(3 - 2x) = 14 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[3x^{2} - 6 + 4x - 14 = 0\]
\[3x^{2} + 4x - 20 = 0\]
\[D = 4 + 60 = 64\]
\[x_{1} = \frac{- 2 + 8}{3} = 2;\]
\[x_{2} = \frac{- 2 - 8}{3} = - \frac{10}{3} = - 3\frac{1}{3}\]
\[\left\{ \begin{matrix} x = 2\ \ \ \\ y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = - 3\frac{1}{3} \\ y = 9\frac{2}{3}\text{\ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:(2;\ - 1)\ и\ \left( - 3\frac{1}{3};9\frac{2}{3} \right).\]
\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]
\[P = (a + b) = 28\]
\[a + b = 14.\]
\[Пусть\ \text{a\ }см\ и\ \text{b\ }см - стороны\ \]
\[прямоугольника.\]
\[По\ теореме\ Пифагора:\]
\[a^{2} + b^{2} = 10^{2}\]
\[Составим\ систему\ уравнений:\]
\[\left\{ \begin{matrix} a + b = 14\ \ \ \ \ \ \ \\ a^{2} + b^{2} = 100 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} a = 14 - b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (14 - b)^{2} + b^{2} = 100 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[196 - 28b + b^{2} + b^{2} - 100 = 0\]
\[2b^{2} - 28b + 96 = 0\ \ \ \ \ |\ :2\]
\[b^{2} - 14b + 48 = 0\]
\[D = 49 - 48 = 1\]
\[b_{1} = 7 + 1 = 8;\ \ \ \]
\[b_{2} = 7 - 1 = 6\]
\[\left\{ \begin{matrix} b = 8 \\ a = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }и\text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ a = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:6\ см\ и\ 8\ см.\]
\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]
\[\textbf{а)}\ y = - x^{2} - 4\]
\[y < - x^{2} - 4.\]
\[\textbf{б)}\ x^{2} + y^{2} = 13^{2}\]
\[x^{2} + y^{2} \geq 169\ \]
\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]
\[x^{2} + y - 10 = 0 \rightarrow y = 10 - x^{2}\]
\[y = 3x^{2} - x - 4\]
\[3x^{2} - x - 4 = 10 - x^{2}\]
\[3x^{2} + x^{2} - x - 4 - 10 = 0\]
\[4x^{2} - x - 14 = 0\]
\[D = 1 + 224 = 225\]
\[x_{1} = \frac{1 + 15}{8} = 2;\ \ \]
\[x_{2} = \frac{1 - 15}{8} = - \frac{14}{8} = - \frac{7}{4}.\]
\[y_{1} = 10 - 4 = 6;\]
\[y_{2} = 10 - \left( - \frac{7}{4} \right)^{2} = 10 - \frac{49}{16} =\]
\[= 10 - 3\frac{1}{16} =\]
\[= 9\frac{16}{16} - 3\frac{1}{16} = 6\frac{15}{16}.\]
\[Координаты\ точек\ \]
\[пересечения\ \ графиков:\]
\[(2;6)\ \ и\ \left( - 1\frac{3}{4};6\frac{15}{16} \right).\]
\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]
\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 25 \\ y \leq 5 - x\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
