Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 9 класс Макарычев контрольные работы КР-5. Уравнения и неравенства с двумя переменными Вариант 1
Вариант 1
Условие:
1. Решите систему уравнений:
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 1\ \\ xy + 4y = 18 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 5y = 27 \\ 2x - y = 7\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
3. Опишите неравенством множество точек, расположенных в координатной плоскости:
а) выше параболы, задаваемой уравнением y = x² + 9;
б) вне круга с центром в начале координат и радиусом, равным 11.
4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков уравнений
x² – y – 3 = 0 и y = 2x² – 3x – 13.
5. Изобразите в координатной плоскости множество решений системы неравенств
\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 16 \\ y \geq 4 - x\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 1\ \\ xy + 4y = 18 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} x = 3y - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (3y - 1)y + 4y = 18 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]
\[3y^{2} - y + 4y - 18 = 0\]
\[3y^{2} + 3y - 18 = 0\ \ \ \ \ |\ :3\]
\[y^{2} + y - 6 = 0\]
\[y_{1} + y_{2} = - 1;\ \ \ y_{1} \cdot y_{2} = - 6\]
\[y_{1} = - 3;\ \ y_{2} = 2\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = - 3\ \ \\ x = - 10 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ x = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:( - 10;\ - 3);\ \ (5;2).\]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 5y = 27 \\ 2x - y = 7\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 2x - 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2x^{2} - 5(2x - 7) = 27 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]
\[2x^{2} - 10x + 35 - 27 = 0\]
\[2x^{2} - 10x + 8 = 0\ \ \ \ \ \ |\ :2\]
\[x^{2} - 5x + 4 = 0\]
\[x_{1} + x_{2} = 5;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 4\]
\[x_{1} = 4;\ \ \ x_{2} = 1\]
\[\ \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }и\text{\ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = 1\ \ \ \\ y = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:(4;1)\ и\ (1;\ - 5).\]
\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]
\[Пусть\ \text{x\ }см - большая\ сторона\ \]
\[прямоугольника;\]
\[y\ см - меньшая\ сторона.\]
\[Воспользуемся\ теоремой\ \]
\[Пифагора:\]
\[x^{2} + y^{2} = 13^{2}.\]
\[Составим\ систему\ уравнений:\]
\[\left\{ \begin{matrix} x - y = 7\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x^{2} + y^{2} = 169 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} x = 7 + y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (7 + y)^{2} + y^{2} = 169 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]
\[49 + 14y + y^{2} + y^{2} - 169 = 0\]
\[2y^{2} + 14y - 120 = 0\ \ \ \ \ |\ :2\]
\[y^{2} + 7y - 60 = 0\]
\[y_{1} + y_{2} = - 7;\ \ \ y_{1} + y_{2} = - 60\]
\[y_{1} = - 12\ (не\ подходит);\ \ \]
\[y_{2} = 5.\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x = 7 + 5 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 5\ \ \\ x = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:12\ см\ и\ 5\ см.\]
\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]
\[\textbf{а)}\ y = x^{2} + 9\]
\[x^{2} + 9 > y\]
\[\textbf{б)}\ x^{2} + y^{2} = 121\]
\[x^{2} + y^{2} > 121\]
\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]
\[x^{2} - y - 3 = 0 \rightarrow y = x^{2} - 3\]
\[y = 2x^{2} - 3x - 13\]
\[2x^{2} - 3x - 13 = x^{2} - 3\]
\[2x^{2} - x^{2} - 3x - 13 + 3 = 0\]
\[x^{2} - 3x - 10 = 0\]
\[x_{1} + x_{2} = 3;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 10\]
\[x_{1} = 5;\ \ \ x_{2} = - 2\]
\[y_{1} = 25 - 3 = 22;\]
\[y_{2} = 4 - 3 = 1\]
\[Координаты\ точек\ \]
\[пересечения\ графиков:\]
\[(5;22)\ и\ ( - 2;1)\]
\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]
\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 16 \\ y \geq 4 - x\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
