Решебник по алгебре 9 класс Макарычев контрольные работы КР-3. Уравнения с одной переменной Вариант 1

Условие:

1. При каких значениях x равно нулю значение выражения:

а) x^3-144x

б) (x^2-x-156)/(3x-39)

в) (5x^2-9x-2)/(x^2-4)

2. Решите биквадратное уравнение:

а) x^4 – 29x² + 100 = 0;

б) 9x^4– 37x² + 4 = 0.

3. Найдите координаты точек пересечения графика функции y = x^4 – 13x² – 48 с осями координат.

4. Решите уравнение (3y+2)/(4y^2+y)-(3-y)/(16y^2-1)+3/(1-4y)=0.

5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций

y=x³/(x-2) и y=x^2-3x+1.

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ x^{3} - 144x\]

\[x\left( x^{2} - 144 \right) = 0\]

\[x(x - 12)(x + 12) = 0\]

\[x = 0;\ \ x = 12;\ \ x = - 12\]

\[Ответ:при\ x = 0;\ \ x = \pm 12.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{x^{2} - x - 156}{3x - 39}\]

\[3x - 39 \neq 0\]

\[3x \neq 39\]

\[x \neq 13.\]

\[x^{2} - x - 156 = 0\]

\[D = 1 + 624 = 625\]

\[x_{1} = \frac{1 + 25}{2} = 13\ (не\ подходит);\]

\[x_{2} = \frac{1 - 25}{2} = - 12\]

\[Ответ:при\ x = - 12.\]

\[\textbf{в)}\frac{5x^{2} - 9x - 2}{x^{2} - 4}\]

\[x^{2} - 4 \neq 0\]

\[x^{2} \neq 4\]

\[x \neq \pm 2.\]

\[5x^{2} - 9x - 2 = 0\]

\[D = 81 + 40 = 121\]

\[x_{1} = \frac{9 + 11}{10} = 2\ (не\ подходит);\]

\[x_{2} = \frac{9 - 11}{10} = - \frac{2}{10} = - 0,2\]

\[Ответ:при\ x = - 0,2.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ x^{4} - 29x^{2} + 100 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = y \geq 0:\]

\[y^{2} - 29y + 100 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = 29;\ \ y_{1} \cdot y_{2} = 100\]

\[y_{1} = 25;\ \ y_{2} = 4\]

\[Подставим:\]

\[1)\ y = 25:\]

\[x^{2} = 25\]

\[x = \pm 5.\]

\[2)\ y = 4:\]

\[x^{2} = 4\]

\[x = \pm 2.\]

\[Ответ:\ \ x = \pm 2;\ \ x = \pm 5.\]

\[\textbf{б)}\ 9x^{4} - 37x^{2} + 4 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = y \geq 0:\]

\[9y^{2} - 37y + 4 = 0\]

\[D = 1369 - 144 = 1225 = 35^{2}\]

\[y_{1} = \frac{37 + 35}{18} = \frac{72}{18} = 4;\]

\[y_{2} = \frac{37 - 35}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ y = 4:\]

\[x^{2} = 4\]

\[x = \pm 2.\]

\[2)\ y = \frac{1}{9}:\]

\[x^{2} = \frac{1}{9}\]

\[x = \pm \frac{1}{3}\]

\[Ответ:x = \pm \frac{1}{3};\ \ x = \pm 2.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[y = x^{4} - 13x^{2} - 48\]

\[1)\ пересечение\ с\ осью\ x\]

\[y = 0:\]

\[x^{4} - 13x^{2} - 48 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = t \geq 0:\]

\[t^{2} - 13t - 48 = 0\]

\[По\ теореме\ Виета:\]

\[t_{1} + t_{2} = 13;\ \ t_{1} \cdot t_{2} = - 48\]

\[t_{1} = 16;\ \ \]

\[t_{2} = - 3\ (не\ подходит).\]

\[Подставим:\]

\[t = 16\]

\[x^{2} = 16\]

\[x = \pm 4.\]

\[Точки\ пересечения:\]

\[\ ( - 4;0)\ и\ (4;0).\]

\[2)\ пересечение\ с\ осью\ y\]

\[x = 0:\ \]

\[y = 0^{4} - 13 \cdot 0^{2} - 48 = 48\]

\[Точка\ пересечения\ (0;48).\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{3y + 2}{4y^{2} + y} - \frac{3 - y}{16y^{2} - 1} + \frac{3}{1 - 4y} = 0\]

\[ОДЗ:\ \ y \neq 0;\ \ y \neq \pm \frac{1}{4}.\]

\[y^{2} - y - 2 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = 1;\ \ \ y_{1} \cdot y_{2} = - 2\]

\[y_{1} = 2;\ \ y_{2} = - 1.\]

\[Ответ:y_{1} = 2;\ \ y_{2} = - 1.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[y = \frac{x³}{x - 2}\ \ и\ \ y = x^{2} - 3x + 1\]

\[\frac{x^{3}}{x - 2} = x^{2} - 3x + 1^{\backslash x - 2}\]

\[\frac{x^{3} - x^{3} + 3x^{2} - x + 2x^{2} - 6x + 2}{x - 2} = 0\]

\[\frac{5x^{2} - 7x + 2}{x - 2} = 0;\ \ \ \ \ \ x \neq 2\]

\[5x^{2} - 7x + 2 = 0\]

\[D = 49 - 40 = 9\]

\[x_{1} = \frac{7 + 3}{10} = 1;\]

\[x_{2} = \frac{7 - 3}{10} = 0,4.\]

\[y_{1} = 1 - 3 + 1 = - 1;\]

\[y_{2} = 0,16 - 1,2 + 1 = - 0,04.\]

\[Координаты\ точек\ \ \]

\[пересечения\ графиков:\]

\[(1;\ - 1)\ и\ (0,4;\ - 0,04).\]