Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 968

 

\[\boxed{\text{968\ (968).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующее:

1. При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем (число, которое делится на 2 без остатка) получается положительное число:

\[\mathbf{(}\mathbf{- 3)}^{\mathbf{4}}\mathbf{= 81.}\]

2. При возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем (число, которое не делится на 2 без остатка) получается отрицательное число:

\[\mathbf{(}\mathbf{- 3)}^{\mathbf{3}}\mathbf{= - 27.}\]

3. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно поменять местами числитель со знаменателем, а после возвести в степень уже без знака « – »:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{.}\]

4. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

5. Чтобы десятичную дробь перевести в обыкновенную, нужно число после запятой поставить в числитель, а в знаменателе 10, 100, 1000 и т.д. (количество нулей зависит от того, сколько цифр после запятой).

Например, \(\mathbf{0,125 =}\frac{\mathbf{125}}{\mathbf{1000}}\mathbf{.}\ \)

6. Чтобы представить смешанное число (состоит из целой и дробной частей: \(\mathbf{n}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{y}}\mathbf{\ }\)) в виде неправильной дроби (числитель больше знаменателя), надо умножить целую часть на знаменатель и к полученному произведению добавить числитель. Сумму записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений:

\[\mathbf{n}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{n \bullet y + x}}{\mathbf{y}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ 4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}\]

\[\textbf{б)}\ ( - 3)^{- 3} = \frac{1}{( - 3)^{3}} = - \frac{1}{27}\]

\[\textbf{в)}\ ( - 1)^{- 9} = \frac{1}{( - 1)^{9}} = - 1\]

\[\textbf{г)}\ ( - 1)^{- 20} = \frac{1}{( - 1)^{20}} = 1\]

\[\textbf{д)}\ \left( \frac{1}{7} \right)^{- 2} = 7² = 49\]

\[\textbf{е)}\ \left( - \frac{2}{3} \right)^{- 3} = \left( - \frac{3}{2} \right)^{3} = - \frac{27}{8}\]

\[\textbf{ж)}\ \left( 1\frac{1}{2} \right)^{- 5} = \left( \frac{3}{2} \right)^{- 5} = \left( \frac{2}{3} \right)^{5} =\]

\[= \frac{32}{243}\]

\[\textbf{з)}\ \left( - 2\frac{2}{5} \right)^{- 2} = \left( - \frac{12}{5} \right)^{- 2} =\]

\[= \left( - \frac{5}{12} \right)^{2} = \frac{25}{144}\]

\[\textbf{и)}\ {0,01}^{- 2} = 100² = 10\ 000\]

\[к)\ {1,125}^{- 1} = \left( \frac{9}{8} \right)^{- 1} = \frac{8}{9}\]

\[\boxed{\text{968.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[Пусть\ \ x\ км - путь\ туристов.\]

\[18 + 2 = 20\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[по\ течению.\]

\[18 - 2 = 16\ \frac{км}{ч} - скорость\]

\[\ против\ течения.\]

\[\frac{x}{20}\ ч - время\ по\ течению;\]

\[\ \frac{x}{16}\ ч - время\ против\ течения.\]

\[{По\ условию,\ туристы\ должны\ }{вернуться\ не\ позднее,\ чем\ }\]

\[через\ 3\ часа.\]

\[Составим\ неравенство:\ \]

\[\frac{x}{20} + \frac{x}{16} \leq 3\]

\[\frac{4x + 5x}{80} \leq 3\]

\[9x \leq 240\]

\[x \leq \frac{240}{9}\]

\[x \leq \frac{80}{3}\]

\[x \leq 26\frac{2}{3}\]

\[x \in \left( 0;26\frac{2}{3} \right\rbrack\]

\[Ответ:на\ расстояние\ \]

\[x \in \left( 0;26\frac{2}{3} \right\rbrack.\]