Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 926

 

\[\boxed{\text{926\ (926).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении используем следующее:

1. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

2. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

3. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

6. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

7. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:

\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]

\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]

8. Способ группировки:

1) сгруппировать члены выражения так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

\[\mathbf{ax + bx + 5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b =}\left( \mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+ b}\mathbf{x} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{5}\mathbf{a +}\mathbf{5}\mathbf{b} \right)\]

2) в каждой группе вынести общий множитель за скобки;

\[\mathbf{x}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\]

3) образовавшийся общий для обеих групп множитель вынести за скобки.

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{x + 5} \right)\mathbf{.}\]

Решение.

\[a > 0,\ \ b > 0\]

\[\textbf{а)}\ (a + b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geq 4\]

\[(a + b) \cdot \frac{b + a}{\text{ab}} \geq 4\]

\[\frac{(a + b)^{2}}{\text{ab}} \geq 4\]

\[a^{2} + 2ab + b^{2} \geq 4ab\]

\[a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0\]

\[(a - b)^{2} \geq 0 \Longrightarrow верно,\ ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]

\[\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2}b^{2}} \geq \frac{a + b}{\text{ab}}\]

\[\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2}b^{2}} - \frac{a + b}{\text{ab}} \geq 0\]

\[\frac{(a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} - ab \right)}{a^{2}b^{2}} \geq 0\]

\[\frac{(a + b)\left( a^{2} - 2ab + b^{2} \right)}{a^{2}b^{2}} \geq 0\]

\[a + b \geq 0;\ \ так\ как\ \]

\[a > 0\ и\ b > 0 \Longrightarrow ч.т.д.\]

\(\boxed{\text{926.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\) (н)

\[\textbf{а)}\ \lbrack - 7;0\rbrack;\lbrack - 3;5\rbrack\]

\[\textbf{б)}\ ( - 4;1);\ \ (10;12)\]

\[\textbf{в)}\ ( - \infty;4);\ \ (10;\ + \infty)\]

\[\textbf{г)}\ \lbrack 3;\ + \infty);\ \ (8; + \infty)\]