Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 496
Задание 496
\[\boxed{\text{496\ (496).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[\mathbf{Вспомним.}\]
\[Формула\ квадрата\ суммы:\]
\[\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 2}\mathbf{ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]
Решение.
\[\textbf{а)}\ \ \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\]
\[\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} > 0;\ \ 2 + \sqrt{2} > 0.\ \]
\[Возведем\ в\ квадрат:\]
\[\left( \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} \right)^{2} = \left( 2 + \sqrt{2} \right)^{2}\]
\[6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2\]
\[6 + 4\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ \sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4\]
\[\sqrt{8\sqrt{3} + 19} > 0;\ \ \sqrt{3} + 4 > 0.\]
\[Возведем\ в\ квадрат:\ \]
\[\left( \sqrt{8\sqrt{3} + 19} \right)^{2} = \left( \sqrt{3} + 4 \right)^{2}\]
\[8\sqrt{3} + 19 = 3 + 8\sqrt{3} + 16\]
\[8\sqrt{3} + 19 = 8\sqrt{3} + 19\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\text{496.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
Пояснение.
При всех допустимых значениях a верно равенство:
\[\left( \sqrt{a} \right)^{2} = a.\]
Корень из произведения неотрицательных множителей (больших или равных 0), равен произведению корней из этих множителей.
\[\sqrt{\text{ab}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.\]
Формулы суммы и разности кубов:
\[\left( \mathbf{a - b} \right)\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{;}\]
\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{.}\]
Решение.
\[\textbf{а)}\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^{3}} + \sqrt{b^{3}}} =\]
\[= \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a^{2}} - \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b^{2}} \right)} =\]
\[= \frac{1}{a - \sqrt{\text{ab}} + b}\]
\[\textbf{б)}\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}} = \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{\sqrt{a^{3}} + \sqrt{3^{3}}} =\]
\[= \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{\left( \sqrt{a} + \sqrt{3} \right)\left( a - \sqrt{3a} + 3 \right)} =\]
\[= \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}\ \]
