Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 428

 

\[\boxed{\text{428\ (428).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[Чтобы\ разложить\ на\ \]

\[множители,\ вынесем\ за\ скобки\ \]

\[общий\ множитель.\]

\[\textbf{а)}\ 3 + \sqrt{3} = \left( \sqrt{3} \right)^{2} + \sqrt{3} =\]

\[= \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)\]

\[\textbf{б)}\ 10 - 2\sqrt{10} =\]

\[= \left( \sqrt{10} \right)^{2} - 2\sqrt{10} =\]

\[= \sqrt{10}(\sqrt{10} - 2)\]

\[\textbf{в)}\ \sqrt{x} + x = \sqrt{x} + \left( \sqrt{x} \right)^{2} =\]

\[= \sqrt{x}(1 + \sqrt{x})\]

\[\textbf{г)}\ a - 5\sqrt{a} = \left( \sqrt{a} \right)^{2} - 5\sqrt{a} =\]

\[= \sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)\]

\[\textbf{д)}\ \sqrt{a} - \sqrt{2a} = \sqrt{a} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{a} =\]

\[= \sqrt{a}(1 - \sqrt{2})\]

\[\textbf{е)}\ \sqrt{3m} + \sqrt{5m} =\]

\[= \sqrt{3} \cdot \sqrt{m} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{m} = \sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})\]

\[\textbf{ж)}\ \sqrt{14} - \sqrt{7} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} =\]

\[= \sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)\]

\[\textbf{з)}\ \sqrt{33} + \sqrt{22} =\]

\[= \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{11} \cdot \sqrt{2} =\]

\[= \sqrt{11}\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)\]

\[\boxed{\text{428.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

Вычислять проще, если сначала освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит, заменить дробь тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знак корня.

Для этого нужно домножить дробь на выражение, чтобы получить множители, как в формуле разности квадратов:

\[(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}.\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{\left( \sqrt{5} - 2 \right)\left( \sqrt{5} + 2 \right)} =\]

\[= \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2 \approx\]

\[\approx 2,24 + 2 \approx 4,24\]

\[\textbf{б)}\ \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right)}{\left( \sqrt{5} - \sqrt{3} \right)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right)} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right)}{5 - 3} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right)}{2} =\]

\[= \sqrt{5} + \sqrt{3} \approx 2,24 + 1,73 \approx 3,97\]

\[\textbf{в)}\ \frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} =\]

\[= \frac{3 \cdot \left( \sqrt{10} - \sqrt{7} \right)}{\left( \sqrt{10} - \sqrt{7} \right)\left( \sqrt{10} + \sqrt{7} \right)} =\]

\[= \frac{3 \cdot \left( \sqrt{10} - \sqrt{7} \right)}{10 - 7} =\]

\[= \frac{3 \cdot \left( \sqrt{10} - \sqrt{7} \right)}{3} =\]

\[= \sqrt{10} - \sqrt{7} \approx 3,16 - 2,65 \approx\]

\[\approx 0,51\]

\[\textbf{г)}\ \frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} =\]

\[= \frac{\left( 5 + 3\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3} - 2 \right)}{\left( \sqrt{3} + 2 \right)\left( \sqrt{3} - 2 \right)} =\]

\[= \frac{5\sqrt{3} + 9 - 10 - 6\sqrt{3}}{3 - 4} =\]

\[= \frac{- 1 - \sqrt{3}}{- 1} =\]

\[= \sqrt{3} + 1 \approx 1,73 + 1 \approx 2,73\]