Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1081

 

\[\boxed{\text{1081\ (1081).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

При решении используем следующее:

1. Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

2. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно поменять местами числитель со знаменателем, а после возвести в степень уже без знака « – »:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{.}\]

3. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

4. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

5. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

6. Чтобы умножить число на дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений:

\[\mathbf{a \bullet}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ab}}}{\mathbf{c}}\mathbf{.}\]

7. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b - c} \right)\mathbf{= ab - ac.}\]

8. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\[\left( \mathbf{a - b} \right)\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ xy^{- 2} - x^{- 2}y = \frac{x}{y^{2}} - \frac{y}{x^{2}} =\]

\[= \frac{x^{3} - y^{3}}{x^{2}y^{2}}\]

\[\textbf{б)}\ \left( \frac{x}{y} \right)^{- 1} + \left( \frac{x}{y} \right)^{- 2} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} =\]

\[= \frac{xy + y^{2}}{x^{2}}\]

\[\textbf{в)}\ mn(n - m)^{- 2} - n(m - n)^{- 1} =\]

\[= \frac{\text{mn}}{(n - m)^{2}} - \frac{n}{m - n} =\]

\[= \frac{\text{mn}}{(m - n)^{2}} - \frac{n}{m - n} =\]

\[= \frac{mn - mn + n^{2}}{(m - n)^{2}} = \frac{n^{2}}{(m - n)^{2}}\]

\[\textbf{г)}\ \left( x^{- 1} + y^{- 1} \right)\left( x^{- 1} - y^{- 1} \right) =\]

\[= \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} =\]

\[= \frac{y² - x²}{x²y²}\]

\[\boxed{\text{1081.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\textbf{а)}\ f(x) = 2x - 1 \Longrightarrow линейная\ \]

\[функция;\]

\[1 \leq x \leq 4;\ \ \ \]

\[f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1;\ \ \]

\[f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7;\]

\[Область\ значения\ \ \lbrack 1;7\rbrack.\]

\[\textbf{б)}\ g(x) = - 3x + 8 \Longrightarrow линейная\]

\[\ функция;\]

\[- 2 \leq x \leq 5;\ \text{\ \ }\]

\[g( - 2) = - 3 \cdot ( - 2) + 8 = 14;\ \ \]

\[g(5) = - 3 \cdot 5 + 8 = - 7.\]

\[Область\ значений\ \ \ \lbrack - 7;14\rbrack.\]