Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1057

 

\[\boxed{\text{1057\ (1057).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных (буквы x, a, b и тд.).

При доказательстве используем следующие правила:

1. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

2. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно поменять местами числитель со знаменателем, а после возвести в степень уже без знака « – »:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{.}\]

3. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

4. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

5. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

6. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби, также умножить знаменатели. Первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем:

\[\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a \bullet c}}{\mathbf{b \bullet d}}\mathbf{.}\]

7. Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель (число, на которое делится и числитель, и знаменатель без остатка).

8. Чтобы вынести общий множитель за скобки, надо каждый член многочлена разделить на их наибольший общий делитель и результат записать в скобках, а общий множитель за скобками:

\[\mathbf{ab + b}\mathbf{m}\mathbf{= b \bullet}\left( \mathbf{a + m} \right)\mathbf{.}\]

9. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b - c} \right)\mathbf{= ab - ac.}\]

10. Формулу разности кубов:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a - b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

11. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\[\left( \mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b} \right)\left( \mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\boxed{\text{1057.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} 3 \cdot (y - 1) - 4 \cdot (y + 8) < 5 \cdot (y + 5) \\ 1,2 \cdot (1 + 5y) - 0,2 < 5 \cdot (1 - 3y) - 3y \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 3y - 3 - 4y - 32 < 5y + 25 \\ 1,2 + 6y - 0,2 < 5 - 15y - 3y \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} - y - 5y < 25 + 35 \\ 6y + 18y < 5 - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - 6y < 60 \\ 24y < 4 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y > - 10 \\ y < \frac{1}{6} \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \ \]

\[\Longrightarrow \ y \in \left( - 10;\frac{1}{6} \right);\ \ y > 0.\]

\[Ответ:\ y \in \left( 0;\frac{1}{6} \right).\]

\[Ответ:полодительных\ \]

\[решений\ нет.\]

\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} (2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48 \\ \frac{y - 1}{8} - \frac{6y + 1}{4} - 1 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 8 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 6y^{2} + 4y - 3y - 2 - 6y^{2} + 24y < 48 \\ y - 1 - 12y - 2 - 8 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 25y < 50 \\ - 11y < 11 \\ \end{matrix}\ \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y < 2 \\ y > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \ y \in ( - 1;2).\]

\[Ответ:\ y \in (0;2).\]