Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Контрольные вопросы и задания к параграфу 8

\[\boxed{\text{8.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\boxed{\text{1.\ }}\]

\[Квадратным\ трехчленом\ \]

\[называется\ многочлен\ вида\ \]

\[ax^{2} + bx + c = 0;\]

\[где\ x - переменная;a,\ b\ и\ c -\]

\[некоторые\ числа,\ причем\ \]

\[a \neq 0.\]

\[Квадратный\ трехчлен\ может\]

\[\ иметь\ один\ корень,\ два\ корня,\ \]

\[не\ иметь\]

\[корней.\]

\[\boxed{\text{2.\ }}\]

\[3x^{2} - 12x + 32 =\]

\[= 3 \cdot \left( x^{2} - 4x + \frac{32}{3} \right) =\]

\[= 3 \cdot \left( x^{2} - 4x + 4 - 4 + \frac{32}{3} \right) =\]

\[= 3 \cdot \left( (x - 2)^{2} + \frac{20}{3} \right) =\]

\[= 3 \cdot (x - 2)^{2} + 20.\]

\[\boxed{\text{3.\ }}\]

\[Теорема.\]

\[Если\ x_{1}\ и\ x_{2} - корни\ \]

\[квадратного\ трехчлена\ \]

\[ax^{2} + bx + c;то\]

\[ax^{2} + bx + c =\]

\[= a\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right).\]

\[Доказательство.\]

\[ax^{2} + bx + c =\]

\[= a\left( a^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right).\]

\[ax^{2} + bx + c = 0\]

\[По\ теореме\ Виета:\]

\[x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a};\ \ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a};\]

\[\frac{b}{a} = - \left( x_{1} + x_{2} \right);\ \frac{c}{a} = x_{1} \cdot x_{2}.\]

\[Поэтому:\]

\[x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^{2} -\]

\[- \left( x_{1} + x_{2} \right)x + x_{1}x_{2} =\]

\[= x^{2} - x_{1}x - x_{2}x + x_{1}x_{2} =\]

\[= x\left( x - x_{1} \right) - x_{2}\left( x - x_{1} \right) =\]

\[= \left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right).\]

\[Получаем:\]

\[ax^{2} + bx + c =\]

\[= a\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right).\]