Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-7. Обобщение и систематизация знаний учащихся Вариант 4

Условие:

1. Сократите дробь (36x^2 y^10)/(24x^14 y^5).

2. Представьте в виде степени выражение (c^(-5) )^3:c^(-19).

3. Упростите выражение √49x-√4x+√169x.

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение (x+6)/(2x^2-3x-2).

5. Докажите тождество

(3b/(b-2)-6b/(b^2-4b+4)):(b-4)/(b^2-4)-(2b^2+8b)/(b-2)=b.

6. Вместо автомобиля определённой грузоподъёмности для перевозки 30 т груза взяли другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т больше, чем у первого. Благодаря этому для перевозки груза понадобилось на 4 рейса меньше, чем планировалось. Найдите грузоподъёмность автомобиля, перевёзшего груз.

7. Докажите, что при любом значении p уравнение x^2 + 2px + p^2 – 1 = 0 имеет два корня.

8. Постройте график функции

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{36x^{2}y^{10}}{24x^{14}y^{5}} = \frac{3y^{5}}{2x^{12}}.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left( c^{- 5} \right)^{3}\ :c^{- 19} = c^{- 15}\ :c^{- 19} = c^{4}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\sqrt{49x} - \sqrt{4x} + \sqrt{169x} =\]

\[= 7\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + 13\sqrt{x} = 18\sqrt{x}.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{x + 6}{2x^{2} - 3x - 2}\]

\[2x^{2} - 3x - 2 \neq 0\]

\[D = 9 + 16 = 25\]

\[x_{1} = \frac{3 + 5}{4} = 2;\ \ \]

\[x_{2} = \frac{3 - 5}{4} = - \frac{2}{4} = - 0,5.\]

\[D(y) =\]

\[= ( - \infty; - 0,5) \cup ( - 0,5;2) \cup (2; + \infty).\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ \frac{3b^{\backslash b - 2}}{b - 2} - \frac{6b}{(b - 2)^{2}} =\]

\[= \frac{3b^{2} - 6b - 6b}{(b - 2)^{2}} =\]

\[= \frac{3b^{2} - 12b}{(b - 2)^{2}} = \frac{3b(b - 4)}{(b - 2)^{2}}\]

\[2)\ \frac{3b(b - 4)}{(b - 2)^{2}} \cdot \frac{b^{2} - 4}{b - 4} =\]

\[= \frac{3b(b - 2)(b + 2)}{(b - 2)^{2}} = \frac{3b(b + 2)}{b - 2}\]

\[3)\ \frac{3b(b + 2)}{b - 2} - \frac{2b^{2} + 8b}{b - 2} =\]

\[= \frac{3b^{2} + 6b - 2b^{2} - 8b}{b - 2} =\]

\[= \frac{b^{2} - 2b}{b - 2} = \frac{b(b - 2)}{b - 2} = b\]

\[b = b\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }т - грузоподъемность\ \]

\[запланированной\ машины,\ \]

\[тогда\]

\[(x + 2)\ т - грузоподъемность\ \]

\[фактической\ машины.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 2} = 4;\ \ x \neq 0;\ \ x \neq - 2\]

\[30 \cdot (x + 2) - 30x = 4x(x + 2)\]

\[30x + 60 - 30x = 4x^{2} + 8x\]

\[4x^{2} + 8x - 60 = 0\ \ \ \ |\ :4\]

\[x^{2} + 2x - 15 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 2;\ \ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 15\]

\[x_{1} = - 5\ (не\ подходит).\]

\[x_{2} = 3\ (т) - грузоподъемность\]

\[запланированной\ машины.\]

\[x + 2 = 3 + 2 = 5\ (т) -\]

\[грузоподъемность\ автомобиля,\ \]

\[перевезшего\ груз.\]

\[Ответ:5\ т.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 2px + p^{2} - 1 = 0\]

\[Уравнение\ имеет\ два\ корня\ \]

\[при\ D > 0.\]

\[D = 4p^{2} - 4 \cdot \left( p^{2} - 1 \right) =\]

\[= 4p^{2} - 4p^{2} + 4 =\]

\[= 4 > 0 - уравнение\ имеет\ \ \]

\[два\ корня\ при\ любом\ значении\ \]

\[переменной\ \text{p.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y = \left\{ \begin{matrix} - \frac{8}{x};\ \ если\ x \leq - 2 \\ x^{2};\ \ \ \ \ если\ x > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]