Решебник по алгебре 8 класс Макарычев контрольные работы КР-4. Параграф 7. Применение свойств арифметического квадратного корня Вариант 2

Условие:

1. Упростите выражение:

а) 17√2-3√22+√50

б) (5√3-√27)*√3

в) (1-√7)^2+2√7

2. Сравните значения выражений:

а) 1/5 √75 и 3/8 √48

б) 1/2 √20 и 5/6 √45

3. Сократите дробь:

а) (3+√3)/(√2+√6)

б) (100-a)/(√a-10 )

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) 1/(3√3)

б) 49/(5√2-1 )

в) 2/(√(2x+y)-√(2x-y))

5. Докажите, что значение выражения 1/(5√2-1)-1/(1+5√2) есть число рациональное.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 17\sqrt{2} - 3\sqrt{32} + \sqrt{50} =\]

\[= 17\sqrt{2} - 3\sqrt{16 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} =\]

\[= 17\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\]

\[\textbf{б)}\ \left( 5\sqrt{3} - \sqrt{27} \right) \cdot \sqrt{3} =\]

\[= 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{27} \cdot \sqrt{3} =\]

\[= 5 \cdot 3 - \sqrt{81} = 15 - 9 = 6\]

\[\textbf{в)}\ \left( 1 - \sqrt{7} \right)^{2} + 2\sqrt{7} =\]

\[= 1 - 2\sqrt{7} + 7 + 2\sqrt{7} = 8\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{1}{5}\sqrt{75} < \frac{3}{8}\sqrt{48}\]

\[\frac{1}{5}\sqrt{75} = \sqrt{\frac{75}{25}} = \sqrt{3}\]

\[\frac{3}{8}\sqrt{48} = \frac{3}{8}\sqrt{16 \cdot 3} =\]

\[= \frac{3}{8} \cdot 4\sqrt{3} = 1,5\sqrt{3}\]

\[\sqrt{3} < 1,5\sqrt{3}.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{1}{2}\sqrt{20} < \frac{5}{6}\sqrt{45}\]

\[\frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 5} =\]

\[= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}\]

\[\frac{5}{6}\sqrt{45} = \frac{5}{6}\sqrt{9 \cdot 5} =\]

\[= \frac{5}{6} \cdot 3\sqrt{5} = 2,5\sqrt{5}\]

\[\sqrt{5} < 2,5\sqrt{5}\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}\left( \sqrt{3} + 1 \right)}{\sqrt{2}\left( 1 + \sqrt{3} \right)} =\]

\[= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\]

\[\textbf{б)}\ \frac{100 - a}{\sqrt{a} - 10\ } =\]

\[= - \frac{\left( \sqrt{a} - 10 \right)\left( \sqrt{a} + 10 \right)}{\sqrt{a} - 10\ } =\]

\[= - \sqrt{a} - 10\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\]

\[\textbf{б)}\ \frac{49}{5\sqrt{2} - 1\ } =\]

\[= \frac{49 \cdot \left( 5\sqrt{2} + 1 \right)}{\left( 5\sqrt{2} - 1 \right)\left( 5\sqrt{2} + 1 \right)} =\]

\[= \frac{49 \cdot \left( 5\sqrt{2} + 1 \right)}{25 \cdot 2 - 1} =\]

\[= \frac{49 \cdot \left( 5\sqrt{2} + 1 \right)}{49} = 5\sqrt{2} + 1\]

\[\textbf{в)}\ \frac{2}{\sqrt{2x + y} - \sqrt{2x - y}} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( \sqrt{2x + y} + \sqrt{2x - y} \right)}{\left( \sqrt{2x + y} - \sqrt{2x - y} \right)\left( \sqrt{2x + y} + \sqrt{2x - y} \right)} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( \sqrt{2x + y} + \sqrt{2x - y} \right)}{2x + y - (2x - y)} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( \sqrt{2x + y} + \sqrt{2x - y} \right)}{2x + y - 2x + y} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( \sqrt{2x + y} + \sqrt{2x - y} \right)}{2y} =\]

\[= \frac{\sqrt{2x + y} + \sqrt{2x - y}}{y}\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{1^{\backslash 5\sqrt{2} + 1}}{5\sqrt{2} - 1} - \frac{1^{\backslash 5\sqrt{2} - 1}}{1 + 5\sqrt{2}} =\]

\[= \frac{5\sqrt{2} + 1 - 5\sqrt{2} + 1}{\left( 5\sqrt{2} - 1 \right)\left( 5\sqrt{2} + 1 \right)} =\]

\[= \frac{2}{25 \cdot 2 - 1} = \frac{2}{49} -\]

\[рациональное\ выражение.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

## КР-5. Параграф 8. Квадратное уравнение и его корни