Решебник по алгебре 8 класс Макарычев контрольные работы КР-4. Параграф 7. Применение свойств арифметического квадратного корня Вариант 1

Условие:

1. Упростите выражение:

а) 7√3-4√12+√48

б) (5√2-√8)*√2

в) (6-√5)^2+12√5

2. Сравните значения выражений:

а) 1/3 √27 и 5√(1/5)

б) 5√24 и 2/3 √54

3. Сократите дробь:

а) (7+√7)/(√2+√14)

б) (81-b)/(√b+9)

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а)1/(2√2)

б)31/(4√2+1)

в)1/(√(a+b)+√(a-b))

5. Докажите, что значение выражения 1/(7√3-1)-1/(1+7√3) есть число рациональное.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 7\sqrt{3} - 4\sqrt{12} + \sqrt{48} =\]

\[= 7\sqrt{3} - 4\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} =\]

\[= 7\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]

\[\textbf{б)}\ \left( 5\sqrt{2} - \sqrt{8} \right) \cdot \sqrt{2} =\]

\[= 5 \cdot 2 - \sqrt{8 \cdot 2} = 10 - \sqrt{16} =\]

\[= 10 - 4 = 6\]

\[\textbf{в)}\ \left( 6 - \sqrt{5} \right)^{2} + 12\sqrt{5} =\]

\[= 36 - 12\sqrt{5} + 5 + 12\sqrt{5} = 41\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{1}{3}\sqrt{27} < 5\sqrt{\frac{1}{5}}\]

\[\frac{1}{3}\sqrt{27} = \sqrt{\frac{27}{9}} = \sqrt{3}\]

\[5\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{25}{5}} = \sqrt{5}\]

\[\sqrt{3} < \sqrt{5}.\]

\[{б)\ 5\sqrt{24} > \ \frac{2}{3}\sqrt{54} }{5\sqrt{24} = 5\sqrt{4 \cdot 6} =}\]

\[5 \cdot 2\sqrt{6} = 10\sqrt{6}\]

\[\frac{2}{3}\sqrt{54} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 6} =\]

\[= \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{6} = 2\sqrt{6}\]

\[10\sqrt{6} > 2\sqrt{6}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{7 + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{7}\left( \sqrt{7} + 1 \right)}{\sqrt{2}\left( 1 + \sqrt{7} \right)} =\]

\[= \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}\]

\[\textbf{б)}\ \frac{81 - b}{\sqrt{b} + 9} = \frac{\left( 9 - \sqrt{b} \right)\left( 9 + \sqrt{b} \right)}{\sqrt{b} + 9} =\]

\[= 9 - \sqrt{b}\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\ \]

\[\textbf{б)}\ \frac{31}{4\sqrt{2} + 1} =\]

\[= \frac{31 \cdot \left( 4\sqrt{2} - 1 \right)}{\left( 4\sqrt{2} + 1 \right)\left( 4\sqrt{2} - 1 \right)} =\]

\[= \frac{31 \cdot \left( 4\sqrt{2} - 1 \right)}{32 - 1} =\]

\[= \frac{31 \cdot \left( 4\sqrt{2} - 1 \right)}{31} = 4\sqrt{2} - 1\]

\[\textbf{в)}\frac{1}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}} =\]

\[= \frac{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}{\left( \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \right)\left( \sqrt{a + b} - \sqrt{a - b} \right)} =\]

\[= \frac{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}{a + b - (a - b)} =\]

\[= \frac{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}{a + b - a + b} =\]

\[= \frac{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}{2b}\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{1^{\backslash 1 + 7\sqrt{3}}}{7\sqrt{3} - 1} - \frac{1^{\backslash 7\sqrt{3} - 1\ }}{1 + 7\sqrt{3}} =\]

\[= \frac{1 + 7\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 1}{\left( 7\sqrt{3} - 1 \right)\left( 7\sqrt{3} + 1 \right)} =\]

\[= \frac{2}{147 - 1} = \frac{2}{146} = \frac{1}{73} -\]

\[рациональное\ выражение.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]