Решебник по алгебре 8 класс Макарычев контрольные работы КР-5. Параграф 8. Квадратное уравнение и его корни Вариант 1

Условие:

1. Решите уравнение:

а) 12x^2 – 5x = 0;

б) 16x^2 – 25 = 0;

в) 6x^2 + 5x – 14 = 0;

г) 3x^2 – 2x + 35 = 0;

д) 81x^2 – 36x + 4 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 40 см, а его площадь равна 96 см^2 . Найдите стороны прямоугольника.

3. Один из корней уравнения x^2 + px – 72 = 0 равен 9. Найдите другой корень и коэффициент p.

4. Разность корней квадратного уравнения x^2 + x + q = 0 равна 4. Найдите q.

5. Решите относительно x уравнение 4x^2 – a = 0.

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 12x^{2} - 5x = 0\]

\[x(12x - 5) = 0\]

\[x = 0\ \ \ \ \ \ \ \ 12x = 5\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \frac{5}{12}.\]

\[Ответ:x = \frac{5}{12};\ \ x = 0.\]

\[\textbf{б)}\ 16x^{2} - 25 = 0\]

\[16x^{2} = 25\]

\[x^{2} = \frac{25}{16}\]

\[x = \pm \frac{5}{4}\]

\[x = \pm 1,25\]

\[Ответ:x = \pm 1,25.\]

\[\textbf{в)}\ 6x^{2} + 5x - 14 = 0\]

\[D = 25 + 336 = 361 = 19^{2}\]

\[x_{1} = \frac{- 5 + 19}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6};\]

\[x_{2} = \frac{- 5 - 19}{6} = - \frac{24}{6} = - 4\]

\[Ответ:x = - 4;\ \ x = 1\frac{1}{6}.\]

\[\textbf{г)}\ 3x^{2} - 2x + 35 = 0\]

\[D = 1 - 105 = - 104 < 0\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\textbf{д)}\ 81x^{2} - 36x + 4 = 0\]

\[(9x - 2)^{2} = 0\]

\[9x - 2 = 0\]

\[9x = 2\]

\[x = \frac{2}{9}\]

\[Ответ:x = \frac{2}{9}\text{.\ }\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[P = 2 \cdot (a + b) = 40\]

\[a + b = 20\]

\[Пусть\ \text{x\ }см - одна\ сторона\ \]

\[прямоугольнника,\ \]

\[тогда\ (20 - x)\ см - другая\ \]

\[сторона.\]

\[По\ условию\ известно,\ что\ \]

\[площадь\ равна\ 96\ см^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[x \cdot (20 - x) = 96\]

\[20x - x^{2} - 96 = 0\]

\[x^{2} - 20x + 96 = 0\]

\[D = 100 - 96 = 4\]

\[x_{1} = 10 - 4 = 6\ (см) - одна\ \]

\[сторона.\]

\[20 - 6 = 14\ (см) - другая\ \]

\[сторона.\]

\[x_{2} = 10 + 4 = 14\ (см) - одна\ \]

\[сторона.\]

\[20 - 14 = 6\ (см) - другая\ \]

\[сторона.\]

\[Ответ:6\ см\ и\ 14\ см.\ \]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + px - 72 = 0;\ \ \ \ x_{1} = 9\]

\[q = x_{1} \cdot x_{2}\]

\[9x_{2} = - 72\]

\[x_{2} = - 8.\]

\[x_{1} + x_{2} = - p\]

\[9 - 8 = - p\]

\[- p = 1\]

\[p = - 1.\]

\[Ответ:x_{2} = - 8;\ \ p = - 1.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + x + q = 0\]

\[x_{1} - x_{2} = 4\]

\[x_{1} = 4 + x_{2}\]

\[x_{1} + x_{2} = - 1\]

\[4 + x_{2} + x_{2} = - 1\]

\[2x_{2} = - 5\]

\[x_{2} = - 2,5.\]

\[x_{1} + 2,5 = 4\]

\[x_{1} = 1,5.\]

\[q = x_{1} \cdot x_{2} = - 3,75.\]

\[Ответ:q = - 3,75.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[4x^{2} - a = 0\]

\[4x^{2} = a\]

\[x^{2} = \frac{a}{4}\]

\[x = \pm \frac{\sqrt{a}}{2};\ \ \ a \geq 0.\]