Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк Задание 1208

\[\boxed{\text{1208\ (1208).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[n^{7} - n = n\left( n^{6} - 1 \right) =\]

\[= n\left( n^{3} - 1 \right)\left( n^{3} + 1 \right) =\]

\[= n(n - 1)(n + 1)\left( \left( n^{2} + 1 \right)^{2} - n^{2} \right),\]

\[n(n - 1)(n + 1) - три\ \]

\[последовательных\ числа,\ \]

\[тогда\ их\ произведение\ \]

\[делится\ на\ 6.\]

\[Если\ число\ не\ делится\ на\ 7\ \]

\[и\ остаток - 1;0;1,\ то\ \]

\[n(n - 1)(n + 1) - делится\ на\ 7\ \]

\[или\ \left( \left( n^{2} + 1 \right)^{2} - n^{2} \right) - делится\ \]

\[на\ 7,\ если\ остаток - 2;2,\]

\[то\ \left( n^{2} + 1 \right)^{2} - n^{2} =\]

\[= (4 + 1)^{2} - 4 = 25 - 4 = 21 -\]

\[делится\ на\ 7,если\ остаток -\]

\[3;3,\ то\ \left( n^{2} + 1 \right)^{2} - n^{2} =\]

\[= (9 + 1)^{2} - 9 = 100 - 9 =\]

\[= 91 - делится\ на\ 7,\ \]

\[следовательно,\ получаем\ \]

\[6 \cdot 7 = 42 - делится\ на\ 42.\ \]