Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 1078
Задание 1078
\[\boxed{\text{1078.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} 4y - x = 12 \\ 3y + x = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 3 + \frac{1}{4}\text{x\ \ } \\ y = - 1 - \frac{1}{3}x \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \ \]
\[угловые\ коэффициенты\]
\[\ прямых\ \ \ k_{1} = \frac{1}{4}\text{\ \ }и\ \ k_{2} =\]
\[= - \frac{1}{3} - различны \Rightarrow\]
\[эти\ прямые\ пересекаются,\ \]
\[система\ имеет\ единственное\]
\[\ решение.\]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \\ y = 2 + \frac{1}{3}x \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \]
\[угловые\ коэффициенты\ \]
\[прямых\ \ \ k_{1} = 3\ \ и\ \ \]
\[k_{2} = \frac{1}{3} - различны \Rightarrow\]
\[эти\ прямые\ пересекаются,\ \]
\[система\ имеет\ единственное\]
\[\ решение.\]
\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} 1,5x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - 3x + 2y = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]
\[\ \left\{ \begin{matrix} x = \frac{2}{3}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ y = 1,5x - 1 \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \ x = \frac{2}{3} -\]
\[параллельна\ оси\ Oy,\ значит,\ \]
\[эти\ прямые\ пересекаются\ и\]
\[\ имеют\]
\[единственное\ решение.\ \]
\[\textbf{г)}\ \left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ y = - 0,5x\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\ \left\{ \begin{matrix} y = 1,5 - 0,5x \\ y = - 0,5x\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ ,\]
\[угловые\ коэффициенты\ \]
\[прямых\ равные,\ значит,\ \]
\[они\ параллельны \Longrightarrow\]
\[система\ не\ имеет\ решений.\]
\[\textbf{д)}\ \left\{ \begin{matrix} 2x = 11 - 2y \\ 6y = 22 - 4x\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} y = 5,5 - x\ \ \\ y = \frac{22}{6} - \frac{4}{6}x \\ \end{matrix} \right.\ ,\]
\[угловые\ коэффициенты\ \]
\[прямых\ \ \ k_{1} = - 1\ \ и\ \ k_{2} =\]
\[= - \frac{4}{6} - различны \Rightarrow\]
\[эти\ прямые\ пересекаются,\ \]
\[система\ имеет\ единственное\ \]
\[решение.\]
\[\textbf{е)}\ \left\{ \begin{matrix} - x + 2y = 8 \\ x + 4y = 10\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\ \left\{ \begin{matrix} y = 4 + 0,5x\ \ \ \ \ \\ y = 2,5 - 0,25x \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \]
\[угловые\ коэффициенты\ \]
\[прямых\ \ \ k_{1} = 0,5\ \ и\ \ k_{2} =\]
\[= - 0,25 - различны \Rightarrow\]
\[эти\ прямые\ пересекаются,\ \]
\[система\ имеет\ единственное\]
\[\ решение.\]
\[\boxed{\text{1078\ (1078).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными (буквы x, y и т.д.), для которых необходимо найти общее решение.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Координаты точки – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (x), а на втором – ордината точки (у): A (x; y).
Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки:
1. Выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ей выражение.
3. Решить получившиеся уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующее значение второй переменной.
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{x + 2}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ }} \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 2}\mathbf{y}\mathbf{= 16} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 2 \cdot}\left( \mathbf{x + 2} \right)\mathbf{= 16} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 2}\mathbf{x + 4 = 16} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = x + 2} \\ \mathbf{6}\mathbf{x = 12\ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x =}\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{6}}\mathbf{= 2} \\ \mathbf{y = 2 + 2\ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x = 2} \\ \mathbf{y = 4} \\ \end{matrix} \right.\ \]
(2; 4)
Свойства уравнений с двумя переменными:
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Решение.
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6\ \ \ \ \ \ \ | \cdot 20 \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0\ \ \ | \cdot 60 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 5y - 4x = 120 \\ 4x + 5y = 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} y = - \frac{4}{5}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ 5 \cdot \left( - \frac{4}{5}x \right) - 4x = 120\ \ \ (1) \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[(1)\ - 3x - 4x = 120\]
\[- 8x = 120\]
\[x = - 15\]
\[(2)\ \ \ y = - \frac{4}{5} \cdot ( - 15)\]
\[y = \frac{4 \cdot 15}{5} = 4 \cdot 3 = 12\]
\[Ответ:( - 15;\ \ 12).\]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3\ \ \ | \cdot 15 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2\ \ \ | \cdot 30 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 18x + y = 34,5 \\ 3x - 20y = 36\ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[(1)\ \ 3x - 690 + 360x = 36\]
\[363x = 726\]
\[x = 2\]
\[(2)\ \ y = 34,5 - 18 \cdot 2\]
\[y = - 1,5\]
\[Ответ:(2;\ - 1,5).\]
\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2\ \ \ \ \ \ | \cdot 6 \\ \frac{3x}{2} - y = 6\ \ \ | \cdot 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3x - 2y = 12 \\ 3x - 2y = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Уравнения\ прямых\ \]
\[совпадают \Longrightarrow решением\ \ \]
\[системы\ является\ бесконечное\ \]
\[множество\ решений\ \left( x_{0};y_{0} \right).\]
\[Ответ:бесконечное\ множество\ \]
\[решений.\]
\[\textbf{г)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{3x}{5} - 2y = 5\ \ \ \ \ | \cdot 5 \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5\ \ \ | \cdot 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3x - 10y = 25\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2x - 3y = 13 \rightarrow 2x = 13 + 3y \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x = 6,5 + 1,5y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ 3 \cdot (6,5 + 1,5y) - 10y = 25\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[(2)\ \ 19,5 + 4,5y - 10y = 25\]
\[- 5,5y = 5,5\]
\[y = - 1\]
\[(1)\ \ x = 6,5 - 1,5\]
\[x = 5\]
\[Ответ:(5;\ - 1).\]
