Решебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 1012

 

\[\boxed{\text{1012.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[\left( a^{2} + b^{2} \right)(ab + cd) -\]

\[- ab\left( a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} \right) =\]

\[= a^{3}b + a^{2}cd + ab^{3} + cdb^{2} -\]

\[- a^{3}b - ab^{3} + abc^{2} + abd^{2} =\]

\[= a^{2}cd + b^{2}cd + abc^{2} +\]

\[+ abd^{2} = ac(ad + bc) +\]

\[+ bd(bc + ad) =\]

\[= (ad + bc)(ac + bd)\]

\[(ad + bc)(ac + bd) =\]

\[= (ad + bc)(ac + bd)\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\text{1012\ (1012).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

При решении используем следующее:

1. Способ группировки:

1) сгруппировать члены выражения так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

2) в каждой группе вынести общий множитель за скобки;

3) образовавшийся общий для обеих групп множитель вынести за скобки.

\[\mathbf{ax + bx + 5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b =}\left( \mathbf{ax + bx} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{x \bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{+ 5 \bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{=}\]

\[\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{x + 5} \right)\mathbf{.}\]

2. Чтобы вынести общий множитель за скобки, надо каждый член многочлена разделить на их наибольший общий делитель и результат записать в скобках, а общий множитель за скобками:

\[\mathbf{ab + b}\mathbf{m}\mathbf{= b \bullet}\left( \mathbf{a + m} \right)\mathbf{.}\]

3. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\[\left( \mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b} \right)\left( \mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Формулу разности кубов:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a - b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

5. Формулу суммы кубов:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ 3a³ - 3ab^{2} + a^{2}b - b^{3} =\]

\[= 3a\left( a^{2} - b^{2} \right) + b\left( a^{2} - b^{2} \right) =\]

\[= \left( a^{2} - b^{2} \right)(3a + b) =\]

\[= (a - b)(a + b)(3a + b)\]

\[\textbf{б)}\ 2x - a^{2}y - 2a^{2}x + y =\]

\[= 2x\left( 1 - a^{2} \right) + y\left( 1 - a^{2} \right) =\]

\[= \left( 1 - a^{2} \right)(2x + y) =\]

\[= (1 - a)(1 + a)(2x + y)\]

\[\textbf{в)}\ 3p - 2c^{3} - 3c^{3}p + 2 =\]

\[= (3p + 2) - c^{3}(3p + 2) =\]

\[= (3p + 2)\left( 1 - c^{3} \right) =\]

\[= (3p + 2)(1 - c)(1 + c + c^{2})\]

\[\textbf{г)}\ a^{4} - 24 + 8a - 3a^{3} =\]

\[= a\left( a^{3} + 8 \right) - 3 \cdot \left( a^{3} + 8 \right) =\]

\[= \left( a^{3} + 8 \right)(a - 3) =\]

\[= (a + 2)(a^{2} - 2a + 4)(a - 3)\ \]