Решебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 1004

 

\[\boxed{\text{1004.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[\textbf{а)}\ 41³ + 19³ =\]

\[= (41 + 19)\]

\[\left( 41^{2} - 41 \cdot 19 + 19^{2} \right) =\]

\[= 60 \cdot \left( 41^{2} - 41 \cdot 19 + 19^{2} \right) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow делится\ на\ 60.\]

\[\textbf{б)}\ 79³ - 29^{3} =\]

\[= (79 - 29)\]

\[\left( 79^{2} + 79 \cdot 29 + 29^{2} \right) =\]

\[= 50 \cdot \left( 79^{2} + 79 \cdot 29 + 29^{2} \right) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow делится\ на\ 50.\]

\[\textbf{в)}\ 66³ + 34³ =\]

\[= (66 + 34)\]

\[\left( 66^{2} - 66 \cdot 34 + 34^{2} \right) =\]

\[= 100 \cdot \left( 66^{2} - 66 \cdot 34 + 34^{2} \right) =\]

\[= 100 \cdot\]

\[\cdot \left( 4 \cdot 33^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 33 + 4 \cdot 17 \right) =\]

\[= 400 \cdot \left( 33^{2} - 17 \cdot 33 + 17 \right) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow делится\ на\ 400.\]

\[\textbf{г)}\ 54³ - 24^{3} =\]

\[= (54 - 24)\]

\[\left( 54^{2} + 54 \cdot 24 + 24^{2} \right) =\]

\[= 30 \cdot\]

\[\cdot \left( 36 \cdot 9^{2} + 36 \cdot 4 \cdot 9 + 36 \cdot 4^{2} \right) =\]

\[= 1080 \cdot \left( 9^{2} + 4 \cdot 9 + 4^{2} \right) -\]

\[делится\ на\ 1080.\]

\[\boxed{\text{1004\ (1004).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных (буквы x, a, b и тд.).

При решении используем следующее:

1. Формулу умножения многочлена на многочлен – каждое число из первой скобки умножить на каждое число из второй:

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{c + d} \right)\mathbf{= ac + ad + bc + bd.}\]

2. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

3. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b + c} \right)\mathbf{= ab + ac.}\]

Решение.

\[\left( p^{2} + cq^{2} \right)\left( r^{2} + cs^{2} \right) =\]

\[(pr + cqs)^{2} + c(ps - qr)^{2} =\]

\[\left( p^{2} + cq^{2} \right)\left( r^{2} + cs^{2} \right) =\]

\[= (pr + cqs)^{2} + c(ps - qr)^{2}\]