Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк контрольные работы КР-7. Системы линейных уравнений с двумя переменными Вариант 1

Условие:

1. Решите методом подстановки систему уравнений:

2. Решите методом сложения систему уравнений:

3. Решите графически систему уравнений:

4. За 5 кг огурцов и 4 кг помидоров заплатили 220 р. Сколько стоит килограмм огурцов и сколько стоит килограмм помидоров, если 4 кг огурцов дороже кило грамма помидоров на 50 р.?

5. Решите систему уравнений:

6. При каком значении a система уравнений имеет бесконечно много решений?

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x + 3y = 13 \\ 2x + y = 6\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 6 - 2x\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ x + 3 \cdot (6 - 2x) = 13 \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[x + 18 - 6x = 13\]

\[- 5x = 13 - 18\]

\[- 5x = - 5\]

\[x = 1.\]

\[y = 6 - 2x = 6 - 2 \cdot 1 = 4.\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(1;4).\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 7\ \ \\ 7x - 3y = 11 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[9x = 18\]

\[x = 2.\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3y = 7 - 2x \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3y = 7 - 2 \cdot 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} x = 2\ \ \ \\ 3y = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(2;1).\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x + y = 5\ \ \ \ \ \\ 4x - y = 10 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 5 - x\text{\ \ \ \ } \\ y = 4x - 10 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(3;2).\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }рублей - цена\ огурцов,\ \]

\[тогда\ \text{y\ }рублей - цена\ \]

\[помидоров.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 5x + 4y = 220 \\ 4x - y = 50\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 4x - 50\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 5x + 4 \cdot (4x - 50) = 220 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[5x + 16x - 200 = 220\]

\[21x = 420\]

\[x = 20\ (рублей) - цена\ \]

\[огурцов.\]

\[y = 4 \cdot 20 - 50 = 80 - 50 =\]

\[= 30\ (рублей) - цена\ \]

\[помидоров.\]

\[Ответ:20\ рублей\ и\ 30\ рублей.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 6x + 11y = 107\ \ | \cdot 2 \\ 5x - 2y = 11\ \ \ \ \ | \cdot 11 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 12x + 22y = 214 \\ 55x - 22y = 121 \\ \end{matrix} \right.\ \ ( + )\]

\[67x = 335\]

\[x = 5.\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2y = 5x - 11 \\ x = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2y = 5 \cdot 5 - 11 \\ x = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 5\ \ \ \ \ \\ 2y = 14 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 5 \\ y = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(5;7).\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 5x - 6y = 9\ \ \ \ | \cdot 3\ \ \ \\ 15x - 18y = 26\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 15x - 18y = 27 \\ 15x - 18y = 26 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Система\ не\ имеет\ решений,\ \]

\[так\ как\ прямые\ параллельны.\]

\[Ответ:нет\ решений.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Система\ имеет\ бесконечно\ \ \]

\[много\ решений\ в\ том\ случае,\ \]

\[если\ прямыесовпадают.\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4x - \text{ay} = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 20x + 10y = 15\ \ \ |\ :5 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4x + 2y = 3 \\ 4x - \text{ay} = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[a = - 2.\]

\[Ответ:при\ a = - 2.\]