Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 6. Первообразная и интеграл Задание 74

\[\boxed{\mathbf{74}.}\]

\[\textbf{а)}\ \int_{0}^{\pi}{\left| \sin{2002x} \right|\text{dx}};\]

\[x = \frac{u}{2002};\ \ \]

\[dx = \frac{\text{du}}{2002};\]

\[\int_{0}^{\pi}{\left| \sin{2002x} \right|\text{dx}} =\]

\[= \int_{0}^{2002\pi}{\left| \sin u \right|\frac{\text{du}}{2002}} =\]

\[= \frac{1}{2002}\int_{0}^{2002\pi}{\left| \sin u \right|\text{du}} =\]

\[На\ каждом\ из\ 2002\ отрезков\ \]

\[график\ функции\ y = |\sin{u|}\ \]

\[ограничиваетьодну\ и\ ту\ же\ \]

\[площадь:\]

\[\frac{1}{2002}\left( 2002\int_{0}^{\pi}{\left| \sin u \right|\text{du}} \right) =\]

\[= \int_{0}^{\pi}{\left| \sin u \right|\text{du}} = \int_{0}^{\pi}{\sin u\text{du}} =\]

\[= - \left. \ \cos u \right|_{0}^{\pi} =\]

\[= - \cos\pi - \left( - \cos 0 \right) =\]

\[= 1 - ( - 1) = 2.\]

\[\textbf{б)}\ Искомый\ инетграл\ равен\ \]

\[сумме\ площадей\ семи\ равных\]

\[равнобедренных\ \]

\[прямоугольных\ \]

\[треугольников\ \]

\[с\ гипотенузой\ 2,плоащдь\ \]

\[каждого\ из\ которых\ равна:\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1.\ \]

\[Отсюда:\]

\[\int_{- 7}^{7}{\left| \left| \left| |x| - 4 \right| - 2 \right| - 1 \right|\text{dx}} = 7.\]